Основы математического анализа результатов экспериментального исследования

Август 12, 2022

Главная
Математика
Основы математического анализа результатов экспериментального исследования

Содержание

2. Приближенные и точные числа Точные числа выражают безошибочное значение каких-либо величин и обычно имеют математическое происхождение
3. Приближенные и точные числа После того, как погрешность записана, значение результата должно быть округлено таким образом,
4. Умножение приближенных чисел Сложение приближенных чисел: Предельная относительная ошибка произведения: y±Δy=(a ± Δa)(b ± Δb) равна
5. Возведение приближенного числа в степень При возведении приближенного числа a в степень n an = a
6. Общая формула для предельной относительной ошибки функции Предельная относительная ошибка функции одного аргумента f(a) равна произведению
7. Общая формула для предельной относительной ошибки функции Алгоритм нахождения предельной относительной ошибки функции произвольного вида: Логарифмировать
8. Формулы для предельной относительной ошибки функций
9. Средняя квадратичная ошибка функции Для функции f(a,b,c,…) составленной из приближенных чисел можно записать среднюю квадратичную ошибку
10. Обработка результатов измерений Если одна физическая величина зависит от другой величины то эту зависимость можно исследовать
11. Регрессионный анализ Регрессия — зависимость математического ожидания (например, среднего значения) случайной величины от одной или нескольких
12. Регрессионный анализ Регрессия — зависимость математического ожидания (например, среднего значения) случайной величины от одной или нескольких
13. Регрессионный анализ При подборе эмпирической формулы определяющим моментом является не сложность зависимости, а величина погрешности, которая
14. Регрессионный анализ Выбор вида эмпирической зависимости целесообразно осуществлять с учетом физических закономерностей исследуемого процесса. Например падение
15. Регрессионный анализ Выбор коэффициентов эмпирической зависимости Аппроксимационная зависимость описывается в виде некоторой функции: Которая имеет m
16. Регрессионный анализ Два подхода к проблеме выбора коэффициентов эмпирической зависимости Интерполирование – обеспечение условия совладения вычислений
17. Регрессионный анализ Непрерывная аппроксимация f(x) – исходная функция. φ(x) – аппроксимирующая функция. При условии минимального отклонения
19. Скачать презентацию

Слайд 2

Приближенные и точные числа
Точные числа выражают безошибочное значение каких-либо величин и

обычно имеют математическое происхождение

Приближенные числа выражают значение какой-либо величины, полученное с погрешностями, возникающими в результате измерений, вычислений или округлений.

Для оценки погрешности приближенных чисел, если она не задана в явном виде, используется правило - абсолютная погрешность берется равной половине единицы наименьшего разряда, представленного в числе
Пример: π = 3,14, Δπ = 0,005

Пример: 1,2,3,4, 0,5 1/3

Пример: 1,0±0,1 0,51±0,01 1,5

Слайд 3

Приближенные и точные числа
После того, как погрешность записана, значение результата должно

быть округлено таким образом, чтобы его последняя значащая цифра была того же разряда, что и у погрешности

Результаты измерений: 1252 ± 10 В, 52,1 ± 1 °С
Записывать как: 1250 ± 10 В, 52,0 ± 1 °С

Слайд 4

Умножение приближенных чисел
Сложение приближенных чисел:
Предельная относительная ошибка произведения:
y±Δy=(a ± Δa)(b ±

Δb)
равна сумме предельных относительных ошибок сомножителей:

Предельная абсолютная ошибка произведения :

Слайд 5

Возведение приближенного числа в степень
При возведении приближенного числа a в степень

n
an = a · a · a · … · a
Предельная относительная ошибка равна:

Правило справедливо при дробных n, то есть при извлечении корня.

Слайд 6

Общая формула для предельной относительной ошибки функции
Предельная относительная ошибка функции одного

аргумента f(a) равна произведению производной от логарифма этой функции f’(a) на предельную абсолютную ошибку аргумента Δa:

Предельная относительная ошибка функции двух аргументов f(a, b) равна сумме произведений частных производных от логарифма этой функции отдельно по каждому из аргументов на предельную абсолютную ошибку каждого из аргументов:

Слайд 7

Общая формула для предельной относительной ошибки функции
Алгоритм нахождения предельной относительной ошибки

функции произвольного вида:

Логарифмировать функцию f(a,b,c…)
Вычислить частные производные по каждому аргументу a,b,c…
Умножить каждую частную производную на предельную абсолютную ошибку своего аргумента Δa, Δb, Δc….
Каждому из этих произведений приписываем знак «плюс» и складываем их вместе. Это и будет предельная относительная ошибка функции

Слайд 8

Формулы для предельной относительной ошибки функций

Слайд 9

Средняя квадратичная ошибка функции
Для функции f(a,b,c,…) составленной из приближенных чисел можно

записать среднюю квадратичную ошибку Sy

Слайд 10

Обработка результатов измерений
Если одна физическая величина зависит от другой величины то

эту зависимость можно исследовать измеряя y при различных значениях величины x. Экспериментально полученная зависимость имеет вид рядов значений:
x1, x2, …, xi, … xn
y1, y2, …, yi, … yn
По результатам эксперимента можно построить график зависимости y=f(x) использую ту или иную математическую непрерывную функцию.
Постоянные коэффициенты, входящие в эту функцию остаются неизвестными.
Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов требует, чтобы ϕ сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от кривой была наименьшей.

Слайд 11

Регрессионный анализ
Регрессия — зависимость математического ожидания (например, среднего значения) случайной величины от одной

или нескольких других случайных величин (свободных переменных).
Регрессионный анализ – это метод, позволяющий установить аналитическую зависимость между выходной и входными величинами по данным эксперимента.

Экспериментально полученная зависимость одной величины (y) от другой (x) имеет вид табличных данных представляемых на графике в виде набора точек. Для аппроксимации данных (на ограниченном интервале аргументов) необходимо получить эмпирическое выражение. При подборе эмпирической формулы определяющим моментом является не сложность зависимости, а величина погрешности, которая допускается при ее применении.

Слайд 12

Регрессионный анализ
Регрессия — зависимость математического ожидания (например, среднего значения) случайной величины от одной

Слайд 13

Регрессионный анализ
При подборе эмпирической формулы определяющим моментом является не сложность зависимости,

а величина погрешности, которая допускается при ее применении.

Для математического описания (аппроксимации) этих данных может использоваться как линейная, так и нелинейная зависимость.

Слайд 14

Регрессионный анализ
Выбор вида эмпирической зависимости целесообразно осуществлять с учетом физических закономерностей

исследуемого процесса. Например падение напряжения на резистивном элементе линейно пропорционально протекающему току, а зависимость мощности на сопротивлении пропорциональна квадрату тока. Вольтамперная характеристика полупроводникового прибора хорошо аппроксимируется экспоненциальной зависимостью. В соответственно с этим выбирать вид аппроксимирующей зависимости.

Выбор вида эмпирической зависимости

Типовые виды аппроксимирующих зависимостей

линейные;
полиномиальные;
экспоненциальные;

Слайд 15

Регрессионный анализ
Выбор коэффициентов эмпирической зависимости
Аппроксимационная зависимость описывается в виде некоторой

функции:

Которая имеет m неизвестных параметров (коэффициентов):

Необходимо определить такое сочетание этих коэффициентов, при котором значения аппроксимационной зависимости будут наиболее близки к экспериментальным данным.

Слайд 16

Регрессионный анализ
Два подхода к проблеме выбора коэффициентов эмпирической зависимости
Интерполирование –

обеспечение условия совладения вычислений по функции с экспериментальными данными в некоторых опорных (узловых) точках. При этом результаты вычислений могут значительно расходиться с экспериментальными данными.

Аппроксимация функцией. Аппроксимирующую функцию подбирают таким образом, чтобы её отклонение от экспериментальных данных в заданной области было наименьшим.

Слайд 17

Регрессионный анализ
Непрерывная аппроксимация
f(x) – исходная функция.
φ(x) – аппроксимирующая функция.

При условии минимального отклонения φ(x) от f(x) на некотором отрезке [a,b] такую аппроксимацию называют непрерывной. Если максимальное отклонение аппроксимирующей функции φ(x) от функции f(x) по абсолютной величине меньше некоторой точности приближения ε:

Часто применяется так называемое среднеквадратичное приближение, при котором наименьшее значение принимает величина:

Виды аппроксимации

Основы математического анализа результатов экспериментального исследования

Содержание

Приближенные и точные числаТочные числа выражают безошибочное значение каких-либо величин и

Приближенные и точные числаПосле того, как погрешность записана, значение результата должно

Умножение приближенных чиселСложение приближенных чисел:Предельная относительная ошибка произведения:y±Δy=(a ± Δa)(b ±

Возведение приближенного числа в степеньПри возведении приближенного числа a в степень

Общая формула для предельной относительной ошибки функцииПредельная относительная ошибка функции одного

Общая формула для предельной относительной ошибки функцииАлгоритм нахождения предельной относительной ошибки

Формулы для предельной относительной ошибки функций

Средняя квадратичная ошибка функцииДля функции f(a,b,c,…) составленной из приближенных чисел можно

Обработка результатов измеренийЕсли одна физическая величина зависит от другой величины то

Регрессионный анализРегрессия — зависимость математического ожидания (например, среднего значения) случайной величины от одной

Регрессионный анализРегрессия — зависимость математического ожидания (например, среднего значения) случайной величины от одной

Регрессионный анализПри подборе эмпирической формулы определяющим моментом является не сложность зависимости,

Регрессионный анализВыбор вида эмпирической зависимости целесообразно осуществлять с учетом физических закономерностей

Регрессионный анализВыбор коэффициентов эмпирической зависимости Аппроксимационная зависимость описывается в виде некоторой

Регрессионный анализДва подхода к проблеме выбора коэффициентов эмпирической зависимости Интерполирование –

Регрессионный анализ Непрерывная аппроксимацияf(x) – исходная функция. φ(x) – аппроксимирующая функция.

Похожие презентации

Приближенные и точные числа
Точные числа выражают безошибочное значение каких-либо величин и

Приближенные и точные числа
После того, как погрешность записана, значение результата должно

Умножение приближенных чисел
Сложение приближенных чисел:
Предельная относительная ошибка произведения:
y±Δy=(a ± Δa)(b ±

Возведение приближенного числа в степень
При возведении приближенного числа a в степень

Общая формула для предельной относительной ошибки функции
Предельная относительная ошибка функции одного

Общая формула для предельной относительной ошибки функции
Алгоритм нахождения предельной относительной ошибки

Средняя квадратичная ошибка функции
Для функции f(a,b,c,…) составленной из приближенных чисел можно

Обработка результатов измерений
Если одна физическая величина зависит от другой величины то

Регрессионный анализ
Регрессия — зависимость математического ожидания (например, среднего значения) случайной величины от одной

Регрессионный анализ
Регрессия — зависимость математического ожидания (например, среднего значения) случайной величины от одной

Регрессионный анализ
При подборе эмпирической формулы определяющим моментом является не сложность зависимости,

Регрессионный анализ
Выбор вида эмпирической зависимости целесообразно осуществлять с учетом физических закономерностей

Регрессионный анализ
Выбор коэффициентов эмпирической зависимости
Аппроксимационная зависимость описывается в виде некоторой

Регрессионный анализ
Два подхода к проблеме выбора коэффициентов эмпирической зависимости
Интерполирование –

Регрессионный анализ
Непрерывная аппроксимация
f(x) – исходная функция.
φ(x) – аппроксимирующая функция.