Основы цифровой обработки сигналов (лекция 13)

Август 13, 2022

Главная
Математика
Основы цифровой обработки сигналов (лекция 13)

Содержание

2. Тема 7. Дискретные случайные процессы 7. Дискретные случайные процессы 7.1. О характеристиках случайных величин 7.2. О
3. 7.3. Преобразование случайного стационарного процесса линейной непрерывной системой Постановка задачи. Пусть имеется устойчивая линейная непрерывная система,
4. Преобразование случайного стационарного процесса линейной непрерывной системой Рис. Линейная непрерывная система с входным стационарным случайным процессом
5. Преобразование случайного стационарного процесса линейной непрерывной системой Усредняя случайные функции в обеих частях приведенного выше выражения,
6. Преобразование случайного стационарного процесса линейной непрерывной системой
7. Преобразование случайного стационарного процесса линейной непрерывной системой Однако до окончания переходного процесса матожидание выхода может меняться
8. Преобразование случайного стационарного процесса линейной непрерывной системой Поскольку спектры G(jω) и X(jω) – это случайные функции,
9. Преобразование случайного стационарного процесса линейной непрерывной системой Поскольку вывод выражения для корреляционной функции выхода более громоздкий,
10. Преобразование случайного стационарного процесса линейной непрерывной системой Замечание (о спектральной факторизации) Выражение Sx(ω) = | Ф(
11. Преобразование случайного стационарного процесса линейной непрерывной системой Рассмотрим случай, когда на систему действует как полезный сигнал
12. Преобразование случайного стационарного процесса линейной непрерывной системой Получим выражение для спектральной плотности Sx(ω) выхода. Для этого
13. Преобразование случайного стационарного процесса линейной непрерывной системой Усредняем: Sgn(ω) и Sng(ω) – взаимные спектральные плотности Если
14. 7.4. Преобразование случайного стационарного процесса линейной дискретной системой Рассмотрим линейную дискретную систему с импульсной характеристикой h[n]
15. Преобразование случайного стационарного процесса линейной дискретной системой Возьмем матожидание от всех реализаций случайных процессов Таким образом,
16. Преобразование случайного стационарного процесса линейной дискретной системой Cреднеквадратичное значение выхода y[n] Поскольку выражение в фигурных скобках
17. Преобразование случайного стационарного процесса линейной дискретной системой Учитывая множитель , получим соотношение между средними мощностями входа
18. Преобразование случайного стационарного процесса линейной дискретной системой Корреляционная функция выхода
19. Преобразование случайного стационарного процесса линейной дискретной системой Спектральная плотность выхода как преобразование Фурье от корреляционной функции
20. Преобразование случайного стационарного процесса линейной дискретной системой Полученный результат можно трактовать так. Спектральная плотность выхода равна
21. 7.5. О спектральной факторизации Постановка задачи. Есть генератор белого шума с спектральной плотностью Sg(ω). Какой дискретный
22. О спектральной факторизации Вспомним соотношение, связывающее передаточную функцию по Фурье W(ejωτ) дискретного фильтра с его импульсной
23. О спектральной факторизации 5. Нули и полюса, расположенные внутри круга единичного радиуса, образуют импульсную передаточную функцию
24. О спектральной факторизации Или 2. Сделать замену ejωτ =z 3. Найти коэффициенты числителя b=[b0,b1, ] и
25. О спектральной факторизации 4. Воспользуемся функцией пакета MATLAB, которая найдет нули и полюса полученных в предыдущем
26. О спектральной факторизации 5. Нули и полюса, расположенные внутри круга единичного радиуса, образуют импульсную передаточную функцию
28. Скачать презентацию

Слайд 2

Тема 7. Дискретные случайные процессы
7. Дискретные случайные процессы
7.1. О характеристиках случайных

величин
7.2. О характеристиках случайных процессов
7.3. Преобразование случайного стационарного процесса линейной непрерывной системой
7.4. Преобразование случайного стационарного процесса линейной дискретной системой
7.5. О спектральной факторизации
7.6. Методы определения спектральной плотности дискретного случайного процесса

Слайд 3

7.3. Преобразование случайного стационарного процесса линейной непрерывной системой
Постановка задачи.
Пусть имеется устойчивая

линейная непрерывная система, которая может характеризоваться либо передаточной функцией Ф(jω) либо ее весовой функцией h(t). Предположим, что входом системы является стационарный случайный процесс g(t), который в рамках корреляционной теории характеризуется математическим ожиданием my и либо корреляционной функцией Rg(τ), либо спектральной плотностью Sg(ω).
Выход x(t) является случайным процессом и задача определения выхода в рамках корреляционной теории означает определение матожидания выхода mx(t) и либо корреляционной функции выхода Rx(τ), либо спектральной плотности выхода Sx(ω) ( см. рис ниже) .

Слайд 4

Преобразование случайного стационарного процесса линейной непрерывной системой
Рис. Линейная непрерывная система с

входным стационарным случайным процессом g(t) и выходным случайным процессом x(t)
Вспомним, что выход линейной системы может быть связан с входом с помощью весовой функции h(t) следующим образом
Здесь интегрируется случайная функция, поэтому значение интеграла случайно. Нижний предел для простоты принят равным - ∞ , поскольку для устойчивой системы h(t)=0 при t<0.

Слайд 5

Преобразование случайного стационарного процесса линейной непрерывной системой
Усредняя случайные функции в обеих

частях приведенного выше выражения, получим
Видим, что матожидание mg(λ) обрабатывается линейной непрерывной системой как неслучайный сигнал. Поэтому для определения матожидания выхода можно использовать ранее известные сведения обработки детерминированного сигнала.
Для случая, когда входной случайный процесс g(t) стационарен, а значит его матожидание mg постоянно. В литературе показано, что если Ф(0)<∞, то после окончания переходного процесса матожидание выхода будет постоянным и будет определяться выражением
mg = Ф(0 )mg

Слайд 6

Преобразование случайного стационарного процесса линейной непрерывной системой

Слайд 7

Преобразование случайного стационарного процесса линейной непрерывной системой
Однако до окончания переходного процесса

матожидание выхода может меняться и выход не будет стационарным процессом. Таким образом, после окончания переходного процесса выход будет стационарным процессом.
Теперь найдем спектральную плотность выхода, но сначала вспомним соотношение между спектрами входа G(jω) и выхода X(jω)
X(jω) = Ф(jω) G(jω)
и запишем соответствующее комплексно-сопряженное выражение
X(-jω) = Ф(-jω) G(-jω)
Перемножим правые и левые части приведенных выше обоих выражений
|X( jω )|2 = | Ф( jω )|2|G( jω )|2

Слайд 8

Преобразование случайного стационарного процесса линейной непрерывной системой
Поскольку спектры G(jω) и X(jω)

– это случайные функции, то усредняя их и учитывая следующие выражения для спектральных плотностей Sg(ω) и Sx(ω)
получим
Sx(ω) = | Ф( jω )|2 Sg(ω)
Таким образом, спектральная плотность выхода линейной непрерывной системы равна спектральной плотности входа, умноженной на квадрат модуля передаточной функции.
Однако следует помнить, что полученное выше выражение для Sx(ω) верно только по окончании переходного процесса.

Слайд 9

Преобразование случайного стационарного процесса линейной непрерывной системой
Поскольку вывод выражения для корреляционной

функции выхода более громоздкий, то приведем выражение для корреляционной функции выхода Rx(τ) без вывода
Однако удобнее получить корреляционную функцию Rx(τ) как обратное преобразование Фурье от спектральной плотности Sx(ω).

Слайд 10

Преобразование случайного стационарного процесса линейной непрерывной системой
Замечание (о спектральной факторизации)
Выражение
Sx(ω)

= | Ф( jω )|2 Sg(ω)
можно использовать для генерации случайного процесса с заданной спектральной плотностью Sx(ω), поскольку все библиотечные генераторы случайных процессов генерируют белый шум, т.е. случайный процесс с постоянной спектральной плотностью фильтра Sg(ω). Поэтому и используется фильтр, который надо поставить на выходе генератора, чтобы получить случайный процесс с заданной спектральной плотностью Sx(ω). Передаточная функция Ф(jω) этого фильтра определяется с помощью приведенного выше выражения для Sx(ω), а именно
| Ф( jω )|2 = Sx(ω)/Sg(ω)

Слайд 11

Преобразование случайного стационарного процесса линейной непрерывной системой
Рассмотрим случай, когда на систему

действует как полезный сигнал g(t), так и помеха n(t) (см. рис. ниже)
Характеристики полезного сигнала mg и Sg(ω), помехи mn и Sn(ω).
В литературе показано, что математическое ожидание выходного сигнала x(t) после окончания переходного процесса
mx = Ф(0) mg + Y(0) mn

Слайд 12

Преобразование случайного стационарного процесса линейной непрерывной системой
Получим выражение для спектральной плотности

Sx(ω) выхода. Для этого сначала запишем соотношение между спектрами
X(jω) = Ф(jω) G(jω) + Y(jω) N(jω)
Затем запишем соответствующее комплексно-сопряженное выражение
X(-jω) = Ф(-jω) G(-jω) + Y(-jω) N(-jω)
Перемножим правые и левые части приведенных выше обоих выражений

Слайд 13

Преобразование случайного стационарного процесса линейной непрерывной системой
Усредняем:
Sgn(ω) и Sng(ω) – взаимные

спектральные плотности
Если полезный сигнал и помеха независимы, то получим
Если полезный сигнал и помеха независимы, то получим
Sx(ω) = | Ф( jω )|2 Sg(ω) + | Y( jω )|2 Sn(ω)
Зная выражение для спектральной плотности Sx(ω) выхода и интегрируя его, можно получить выражение для дисперсии выхода Dx.

Слайд 14

7.4. Преобразование случайного стационарного процесса линейной дискретной системой
Рассмотрим линейную дискретную систему

с импульсной характеристикой h[n] и частотной передаточной функцией W(). Пусть на вход подан дискретный случайный сигнал x[n] с математическим ожиданием mx[n] и корреляционной функцией Rx[n]. Определим статистические характеристики выходного дискретного случайного сигнала y[n] ( см. рис ниже).
Запишем выход системы с помощью импульсной характеристики

Слайд 15

Преобразование случайного стационарного процесса линейной дискретной системой
Возьмем матожидание от всех

реализаций случайных процессов
Таким образом, матожидание (как и в непрерывной системе) проходит через дискретную систему как неслучайный сигнал.
В литературе сказано, что если входной сигнал есть стационарный случайный процесс, то для устойчивой системы выходной сигнал также будет стационарным процессом с матожиданием
m y = W(1) mx

Слайд 16

Преобразование случайного стационарного процесса линейной дискретной системой
Cреднеквадратичное значение выхода y[n]
Поскольку

выражение в фигурных скобках по определению есть средняя мощность входа , то можно записать
Кроме того

Слайд 17

Преобразование случайного стационарного процесса линейной дискретной системой
Учитывая множитель , получим соотношение

между средними мощностями входа и выхода
При нулевых математических ожиданиях получим соотношения для дисперсий

Слайд 18

Преобразование случайного стационарного процесса линейной дискретной системой
Корреляционная функция выхода

Слайд 19

Преобразование случайного стационарного процесса линейной дискретной системой
Спектральная плотность выхода как преобразование

Фурье от корреляционной функции
Учитывая множитель τ, получим

Слайд 20

Преобразование случайного стационарного процесса линейной дискретной системой
Полученный результат можно трактовать так.

Спектральная плотность выхода равна спектральной плотности входа умноженной на квадрат модуля передаточной функции по Фурье дискретной системы, т.е.

Слайд 21

7.5. О спектральной факторизации
Постановка задачи. Есть генератор белого шума с спектральной

плотностью Sg(ω). Какой дискретный фильтр надо поставить на выход генератора, чтобы получить сигнал с заданной спектральной плотностью Sx(ω) (см. рис. ниже).
Рис. Линейная дискретная система с входным дискретным случайным процессом g[n] и выходным дискретным случайным процессом x[n]
Напомним: спектральные плотности входа Sg(ω) и выхода Sx(ω) линейной дискретной системы связаны соотношением
Sx(ω) = | W(ejωτ )|2 Sg(ω)
где W(ejωτ ) - неизвестная пока передаточная функции по Фурье дискретного фильтра . Или
| W(ejωτ )|2 = Sx(ω)/ Sg(ω)

Слайд 22

О спектральной факторизации
Вспомним соотношение, связывающее передаточную функцию по Фурье W(ejωτ) дискретного

фильтра с его импульсной передаточной функцией W(z)
Далее порядок действий следующий:
1. В выражении Sx(ω)/Sg(ω) числитель и знаменатель представить в виде полиномов, где аргументом будет ejωτ .
2. Сделать замену ejωτ .
3. Найти коэффициенты числителя b= [b0, b1, …] и знаменателя
a= [a0, a1, a2, …], расположенные в порядке убывания степеней z .
4. Воспользоваться функцией пакета MATLAB, которая найдет нули и полюса полученного в предыдущем пункте 3 выражения
[z, p, k] = tf2zp(b, a)

Слайд 23

О спектральной факторизации
5. Нули и полюса, расположенные внутри круга единичного

радиуса, образуют импульсную передаточную функцию устойчивого фильтра. Остальные нули и полюса отбрасываются. От коэффициента усиления используем корень квадратный.
Пример.
Пусть отношение спектральных плотностей имеет вид
1. В выражении Sx(ω)/Sg(ω) числитель и знаменатель надо представить в виде полиномов, где аргументом будет ejωτ .
Введем обозначение

Слайд 24

О спектральной факторизации
Или
2. Сделать замену ejωτ =z
3. Найти коэффициенты числителя b=[b0,b1,

] и знаменателя
a=[a0,a1,a2,…], расположенные в порядке убывания степеней z
b= [0.4, 2.08, 0.4],
a= [1, 2.5, 1]

Слайд 25

О спектральной факторизации
4. Воспользуемся функцией пакета MATLAB, которая найдет нули и

полюса полученных в предыдущем пункте 3 коэффициентов числителя и знаменателя
[z, p, k] = tf2zp(b, a)
Приводим результаты расчета нулей и полюсов
Нули:
n=
-5.0000 – по модулю больше единицы (отбрасываем)
-0.2000 – по модулю меньше единицы (учитываем)
Полюса:
p =
-2.0000 – по модулю больше единицы (отбрасываем)
-0.5000 – по модулю меньше единицы (учитываем)
Коэффициент усиления:
k =
0.4000 – выбираем корень квадратный от этого значения k1/2 =0.6326

Слайд 26

О спектральной факторизации
5. Нули и полюса, расположенные внутри круга единичного радиуса,

образуют импульсную передаточную функцию устойчивого фильтра. Остальные нули и полюса отбрасываются. От коэффициента усиления используем корень квадратный.
Таким образом, искомая импульсная передаточная функция дискретного фильтра равна
Этим методом можно пользоваться для генерирования случайных процессов с заданными характеристиками.

Основы цифровой обработки сигналов (лекция 13)

Содержание

Тема 7. Дискретные случайные процессы7. Дискретные случайные процессы7.1. О характеристиках случайных

7.3. Преобразование случайного стационарного процесса линейной непрерывной системойПостановка задачи.Пусть имеется устойчивая

Преобразование случайного стационарного процесса линейной непрерывной системойРис. Линейная непрерывная система с

Преобразование случайного стационарного процесса линейной непрерывной системойУсредняя случайные функции в обеих

Преобразование случайного стационарного процесса линейной непрерывной системой

Преобразование случайного стационарного процесса линейной непрерывной системойОднако до окончания переходного процесса

Преобразование случайного стационарного процесса линейной непрерывной системойПоскольку спектры G(jω) и X(jω)

Преобразование случайного стационарного процесса линейной непрерывной системойПоскольку вывод выражения для корреляционной

Преобразование случайного стационарного процесса линейной непрерывной системойЗамечание (о спектральной факторизации)Выражение Sx(ω)

Преобразование случайного стационарного процесса линейной непрерывной системойРассмотрим случай, когда на систему

Преобразование случайного стационарного процесса линейной непрерывной системойПолучим выражение для спектральной плотности

Преобразование случайного стационарного процесса линейной непрерывной системойУсредняем:Sgn(ω) и Sng(ω) – взаимные

7.4. Преобразование случайного стационарного процесса линейной дискретной системойРассмотрим линейную дискретную систему

Преобразование случайного стационарного процесса линейной дискретной системойВозьмем матожидание от всех

Преобразование случайного стационарного процесса линейной дискретной системойCреднеквадратичное значение выхода y[n]Поскольку

Преобразование случайного стационарного процесса линейной дискретной системойУчитывая множитель , получим соотношение

Преобразование случайного стационарного процесса линейной дискретной системойКорреляционная функция выхода

Преобразование случайного стационарного процесса линейной дискретной системойСпектральная плотность выхода как преобразование

Преобразование случайного стационарного процесса линейной дискретной системойПолученный результат можно трактовать так.

7.5. О спектральной факторизацииПостановка задачи. Есть генератор белого шума с спектральной

О спектральной факторизацииВспомним соотношение, связывающее передаточную функцию по Фурье W(ejωτ) дискретного

О спектральной факторизации 5. Нули и полюса, расположенные внутри круга единичного

О спектральной факторизацииИли2. Сделать замену ejωτ =z3. Найти коэффициенты числителя b=[b0,b1,

О спектральной факторизации4. Воспользуемся функцией пакета MATLAB, которая найдет нули и

О спектральной факторизации5. Нули и полюса, расположенные внутри круга единичного радиуса,

Похожие презентации