Параллельность прямых и плоскостей

Август 20, 2022

Главная
Математика
Параллельность прямых и плоскостей

Содержание

2. Параллельность в пространстве Параллельность прямых Параллельность прямой и плоскости Параллельность плоскостей
3. прямые в пространстве
4. Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются
5. ТЕОРЕМА 1: ЧЕРЕЗ ЛЮБУЮ ТОЧКУ ПРОСТРАНСТВА, НЕ ЛЕЖАЩУЮ НА ДАННОЙ ПРЯМОЙ, ПРОХОДИТ ПРЯМАЯ ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ДАННОЙ, И
6. ЛЕММА: ЕСЛИ ОДНА ИЗ ДВУХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ ПЕРЕСЕКАЕТ ДАННУЮ ПЛОСКОСТЬ, ТО И ДРУГАЯ ПРЯМАЯ ПРЕСЕКАЕТ ЭТУ
7. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Рассмотрим две параллельные прямые a и b и допустим, что прямая b пересекает плоскость α
8. ТЕОРЕМА 2 (ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ): ЕСЛИ ДВЕ ПРЯМЫЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫ ТРЕТЬЕЙ ПРЯМОЙ, ТО ОНИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫ Дано: а||с,
9. Пусть прямая b пересекает плоскость α. Значит, прямая c, которая параллельна прямой b, тоже пересекает плоскость
10. ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ: ЕСЛИ ПРЯМАЯ, НЕ ПРИНАДЛЕЖАЩАЯ ПЛОСКОСТИ, ПАРАЛЛЕЛЬНА КАКОЙ-ЛИБО ПРЯМОЙ, ЛЕЖАЩЕЙ В ЭТОЙ
11. ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ: ЕСЛИ ДВЕ ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ, ЛЕЖАЩИЕ В ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ, СООТВЕТСТВЕННО ПАРАЛЛЕЛЬНЫ ДВУМ ПЕРЕСЕКАЮЩИМСЯ
12. СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ: ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ ТРЕТЬЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ ПАРАЛЛЕЛЬНЫ.
13. СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ ОТРЕЗКИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ, ЗАКЛЮЧЕННЫЕ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛОСКОСТЯМИ, РАВНЫ.
14. Задача 1: Укажите модели параллельных плоскостей на предметах классной обстановки. Задача 2:Одна сторона параллелограмма пересекает плоскость.
16. Скачать презентацию

Слайд 2

Параллельность в пространстве
Параллельность прямых
Параллельность прямой и плоскости
Параллельность плоскостей

Слайд 3

прямые в пространстве

Слайд 4

Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в

одной плоскости и не пересекаются

Определение: Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости и не пересекаются

Слайд 5

ТЕОРЕМА 1: ЧЕРЕЗ ЛЮБУЮ ТОЧКУ ПРОСТРАНСТВА, НЕ ЛЕЖАЩУЮ НА ДАННОЙ ПРЯМОЙ,

ПРОХОДИТ ПРЯМАЯ ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ДАННОЙ, И ПРИТОМ ТОЛЬКО ОДНА
Дано: а, М∉а
Доказать:
∃!b: M∈b, a||b
Доказательство:
1. Через данную прямую a и точку M, которая не лежит на прямой, проводится плоскость α.
2. Такая плоскость только одна (т.к. через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну).
3. А в плоскости α через точку M можно провести только одну прямую b, которая параллельна прямой a.

Слайд 6

ЛЕММА: ЕСЛИ ОДНА ИЗ ДВУХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ ПЕРЕСЕКАЕТ ДАННУЮ ПЛОСКОСТЬ, ТО

И ДРУГАЯ ПРЯМАЯ ПРЕСЕКАЕТ ЭТУ ПЛОСКОСТЬ.

Дано: α, a||b, b∩α=B
Доказать: a∩α

Слайд 7

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Рассмотрим две параллельные прямые a и b и допустим, что прямая b пересекает плоскость α в точке В. Через 2 параллельные

прямые можно провести плоскость и притом только одну. Проведем через прямые a и b плоскость β. Так как точка В находится на прямой b, то В также принадлежит плоскости β. Если у плоскостей α и β есть общая точка В, то у этих плоскостей есть общая прямая m, которая является прямой пересечения этих плоскостей (3 аксиома). Прямые a, b и m находятся в плоскости β. Если в этой плоскости одна из параллельных прямых b пересекает прямую m, то вторая прямая a тоже пересекает m. Точку пересечения прямых a и m обозначим за A. Так как точка A находится на прямой m, то A находится в плоскости α и является единственной общей точкой прямой a и плоскости α. Значит, прямая a пересекает плоскость α в точке А.

Слайд 8

ТЕОРЕМА 2 (ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ): ЕСЛИ ДВЕ ПРЯМЫЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫ ТРЕТЬЕЙ ПРЯМОЙ,

ТО ОНИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫ

Дано: а||с, b||c
Доказать: а||b

Доказательство:
Выберем точку M на прямой b.
Через точку M и прямую a, которая не содержит эту точку, можно провести только одну плоскость α (Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость).
Возможны два случая:
прямая b пересекает плоскость α,
прямая b находится в плоскости α.

Слайд 9

Пусть прямая b пересекает плоскость α. Значит, прямая c, которая параллельна прямой b, тоже пересекает плоскость α. Так

как a∥c, то получается, что a тоже пересекает эту плоскость. Но прямая a не может одновременно пересекать плоскость α и находиться в плоскости α. Получаем противоречие, следовательно, предположение, что прямая b пересекает плоскость α, является неверным. Значит, прямая b находится в плоскости α. Теперь нужно доказать, что прямые a и b параллельны. Пусть у прямых a и b есть общая точка L. Это означает, что через точку L проведены две прямые a и b, которые параллельны прямой c. Но по второй теореме это невозможно. Поэтому предположение неверное, и прямые a и b не имеют общих точек. Так как прямые a и b находятся в одной плоскости α и у них нет общих точек, то они параллельны.

Слайд 10

ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ: ЕСЛИ ПРЯМАЯ, НЕ ПРИНАДЛЕЖАЩАЯ ПЛОСКОСТИ, ПАРАЛЛЕЛЬНА КАКОЙ-ЛИБО ПРЯМОЙ,

ЛЕЖАЩЕЙ В ЭТОЙ ПЛОСКОСТИ, ТО ОНА ПАРАЛЛЕЛЬНА ДАННОЙ ПЛОСКОСТИ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Доказательство проведем от противного. Пусть a не параллельна плоскости α, тогда прямая a пересекает плоскость в некоторой точке A. Причем A не находится на b, так как a∥b. Согласно признаку скрещивающихся прямых, прямые a и b скрещивающиеся. Мы пришли к противоречию. Так как согласно данной информации a∥b, они не могут быть скрещивающимися. Значит прямая a должна быть параллельна плоскости α.

Слайд 11

ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ: ЕСЛИ ДВЕ ПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ, ЛЕЖАЩИЕ В ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ, СООТВЕТСТВЕННО

ПАРАЛЛЕЛЬНЫ ДВУМ ПЕРЕСЕКАЮЩИМСЯ ПРЯМЫМ, ЛЕЖАЩИМ В ДРУГОЙ ПЛОСКОСТИ, ТО ЭТИ ПЛОСКОСТИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫ ДРУГ ДРУГУ.

Слайд 12

СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ: ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ ТРЕТЬЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ ПАРАЛЛЕЛЬНЫ.

Слайд 13

СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ ОТРЕЗКИ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ, ЗАКЛЮЧЕННЫЕ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛОСКОСТЯМИ, РАВНЫ.

Слайд 14

Задача 1: Укажите модели параллельных плоскостей на предметах классной обстановки. Задача 2:Одна

сторона параллелограмма пересекает плоскость. Докажите, что прямая, которая содержит противоположную сторону параллелограмма, тоже пересекает эту плоскость. Задача 3: Докажите, что если прямые AB и CD скрещиваются, то и прямые AC и BD тоже скрещиваются.