Показательная и тригонометрические функции комплексного переменного

Число S называется суммой ряда:

Ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд

составленный из

Таким образом, из сходимости последовательности комплексных чисел следует сходимость двух последовательностей,

Ряд (1) сходится абсолютно, если сходится ряд

Определение суммы, разности, произведения рядов

1. Показательная и тригонометрические функции

Когда показатель степени является комплексным числом, определение

Воспользуемся известными разложениями в ряд функций действительного аргумента

и определим их для

3

4

Ряды, стоящие в правой части равенств, сходятся, и притом абсолютно, при

Найдем связь между этими функциями.
Подставим в разложение (2) вместо z

Складываем почленно полученное равенство с равенством (2):

Правые части этого равенства и

формула Эйлера

Если в формуле Эйлера заменить z на –z, то

Складывая и вычитая

Эти формулы позволяют вычислять значения тригонометрических функций с комплексным аргументом.
С помощью

Получим выражение, позволяющее вычислять значения показательной функции при любом комплексном значении

Тогда

и одно из значений аргумента равно у:

Пример.

Вычислить

1

2

3

4

Решение.

1

2

3

4

Из равенства

следует периодичность функции

с периодом 2Пi:

В частности:

Поскольку показательная функция имеет период 2Пi, то и функции

тоже