Параллельность прямых и плоскостей. (10 класс)

Определение

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются и

Теорема

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, можно

Лемма

Дано: a ΙΙ b, a ∩ α
Доказать: b∩α

Если одна из параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая

СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ

1. Определение
2. Признак
3. Свойство
1.

a

b

Две прямые называются скрещивающимися, если

Признак скрещивающихся прямых

Если b є α, a ∩ α = M,

Если одна прямая лежит в плоскости, а другая прямая пересекает эту

Свойство скрещивающихся прямых

Через каждую из скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную

Задача № 20

Задача № 21

Доказать:
прямые a и b пересекают плоскости (ABC) и

Задача № 40

Дано: прямые а и b скрещиваются,
М є

Решение задач

1.

Точки Е,F,M,N – середины ребер.
Докажите: EF ll MN,
DC скрещивается

Задача № 19

2.

Найти:
3 пары параллельных прямых,
3 пары скрещивающихся прямых,
3 пары пересекающихся прямых.

Пересекаются

Самостоятельная работа

1 вариант 2 вариант

KMNF - трапеция KBDF -

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

1. Прямая и плоскость имеют

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

2. Прямая и плоскость имеют

Расположение прямой и плоскости

3. Прямая и плоскость не имеют общих точек.

Расположение прямой и плоскости

1. Если прямая и плоскость имеют одну общую

Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна

Параллельность прямой и плоскости

E и F – середины AD и CD
P

Задача 2

Доказать:
АА1 ll (CDD1)
B1D1ll (ABC)

Свойства

Дано: aєα, allβ, α ∩ β = c
Доказать: allc

Свойство 1

Если прямая, лежащая в одной из пересекающихся плоскостей, параллельна другой

Свойство 2

Если одна из параллельных прямых параллельна данной плоскости, то вторая

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

1. Угол между пересекающимися прямыми.
2. Угол между скрещивающимися прямыми.

Угол между пересекающимися прямыми

Угол между скрещивающимися прямыми

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися

Решение задач

1.

А

В

С

D

M

ABCD – прямоугольник.
Найти угол между прямыми:
MB и AD,
AM

2.

Найти угол между прямыми
AB и CD.

3.

M

ABCD – ромб.
Найти угол между прямыми
MD и AC.

4.

Точка D лежит вне плоскости АВС.
Найти угол между прямыми
AC и BD.

5.

D

ABCD – квадрат.
Найти угол между прямыми CM и BD.

Параллельность плоскостей

1. Определение.
2. Признак.
3. Свойства.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Плоскости называются параллельными, если они не

Признак

Дано: плоскости α и β,
a ∩ b, a1∩b1,
a

Свойства

1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения плоскостей

Свойства

2. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Дано: α II

Свойства

3. Если прямая пересекает одну из параллельных плоскостей, то она пересекает

Решение задач

Доказать параллельность плоскостей ABC и A1B1C1

AA1 II BB1 II CC1

Дано: АО = 5, ОВ = 4,
ОА1 = 3,

Задача № 64

a

Доказать:
треугольники
А1 В1 С1 и А2