Параллельный перенос

ее точка (х; у) переходит в точку
(х + а; у +  b), где а и b одни и те же для всех точек (х; у), называется параллельным переносом (рис. 199). Параллельный перенос задается формулами
  x1 = x + а у1 = у + b

параллельном переносе в точки А1 (х1 +а; у1 + b), В1 (х2 + а; y2+b). Поэтому АВ2=(х2-х1)2+ (у2-у1 )2
A1B12=(х2-х1)2+ (у2-у1 )2
Отсюда АВ=А1В1. Таким образом, параллельный перенос сохраняет расстояния, а значит, является движением, что и требовалось доказать.

Свойства параллельного переноса

точки A1 (x1+а; y1 + b) и В1 (х2 + а; y2 + b) (рис. 200). Середина отрезка АВ1 имеет координаты
Те же координаты имеет и середина отрезка А1В. Отсюда следует, что диагонали четырехугольника АА1В1В пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Значит, этот четырехугольник — параллелограмм. А у параллелограмма противолежащие стороны А А1 и ВВ1 параллельны и равны.
Заметим, что у параллелограмма АА1В1В параллельны и две другие противолежащие стороны — АВ и А 1В1. Отсюда следует, что при параллельном, переносе прямая переходит в параллельную прямую.

АА1. В случае, когда точка В лежит на прямой АА1, точка В1 тоже лежит на этой прямой, так как середина отрезка АВ1 совпадает с серединой отрезка ВА1 (рис. 201). Значит, все точки А, В, А1, В1 лежат на одной прямой.

Таким образом:

В таком случае точки А и В смещаются по прямой АВ на одно и то же расстояние