Содержание
- 2. ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Как известно, основной задачей дифференциального исчисления функции одной переменной является отыскание производной
- 3. Задача состоит в следующем: Дана функция, являющаяся производной некоторойфункции; требуется найти функцию . (это и есть
- 4. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ Определение 1. Функция , определённая в промежутке, называется первообразной данной функции в этом промежутке
- 5. Например: 1) функция - первообразная функции в интервале , поскольку для всех Х; 2) функция -
- 6. Возникает вопрос, всякая ли функция f(x) имеет на данном промежутке первообразную. Очевидно, далеко не всякая. В
- 7. Так, для функции первообразной будет не только функция , но и , , и вообще всякая
- 8. Теорема. Если F(x) первообразная функции на , то , где С - постоянная, так же является
- 9. Пусть F(x) – первообразная функции , тогда (2) Из равенств (1) и (2) следует: , или
- 10. Определение 2. Неопределённым интегралом от данной функции называется множество всех её первообразных: , где Знак называется
- 11. СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА. Неопределённый интеграл обладает следующими основными свойствами. Производная неопределённого интеграла равна под интегральной функции;
- 12. Доказательство. 1) - по определению 2) - 2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой
- 13. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла. (к = const) Доказательство. Сравним производные от обеих
- 14. Доказательство. Справедливость свойства доказывается так же дифференцированием обеих частей равенства (*): , т.е. для доказательства достаточно
- 15. Замечание. Особенно часто встречаются случай, когда a=1 либо b=0: (На деле правило (1) есть весьма частный
- 16. ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ. Отвыкание первообразной для данной функции – задача более трудная, чем задача нахождения
- 17. Применяя аналогичное рассуждение к каждой из формул таблицы дифференциалов, получаем следующую таблицу простейших неопределённых интегралов: ,
- 18. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 19а. 20. 21. 22.
- 19. Пример 17. Пример 18. Отметим, что все указанные формулы справедливы в тех промежутках, в которых определены
- 20. Эти формулы часто употребляются, поэтому их необходимо помнить наизусть. Основные формулы интегрирования получаются путем обращения формул
- 21. НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ Метод непосредственного интегрирования является одним из простейших методов интегрирования. Он опирается на: таблицу интегралов;
- 22. Замечание. Нет необходимости после каждого слагаемого ставить производную постоянную, ибо сумма производных постоянных есть также производная
- 23. Пример 4. Прибавим и вычтем в числителе В некоторых случаях сложное на первый взгляд выражение, стоящее
- 24. Однако формулы этой таблицы остаются справедливыми и в случае, когда , где - любая дифференцируемая функция
- 26. Скачать презентацию