Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов

Вопросы темы

Понятие первообразной.
Неопределенный интеграл и его свойства.
Таблица основных интегралов.

ПОНЯТИЕ ПЕРВООБРАЗНОЙ

Определение

Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на промежутке X,

Геометрический смысл первообразной

Геометрический смысл производной: F’(x) – угловой коэффициент касательной к

Теорема

Если F1(x) и F2(x) – первообразные для функции f(x) на промежутке

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА

Определение

Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке X, называется неопределенным

Свойства неопределенного интеграла

Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

Свойства неопределенного интеграла

Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:

Свойства неопределенного интеграла

Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции

Свойства неопределенного интеграла

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

Свойства неопределенного интеграла

Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же

ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

НЕКОТОРЫЕ ПОЛЕЗНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ

Если , то:

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ

Интегрирование методом замены переменной (метод подстановки)

Пусть , тогда: где t(x) - дифференцируемая

Методы замены переменной

Если в подынтегральной функции удаётся сразу заметить оба сомножителя,

Методы замены переменной

Замену переменной можно осуществлять формальным сведением подынтегрального выражения к

Интегрирование по частям

Пусть u(x) и v(x) - функции, имеющие непрерывные частные

Сведение интеграла «к самому себе»

С помощью интегрирования по частям (возможно, неоднократного)

Рекуррентные соотношения

Если подынтегральная функция зависит от некоторого параметра n, и получено