Первый и второй замечательные пределы и способы их вычисления. (Семинар 6)

что в силу

непрерывности функции cosx при х=0 имеет место равенство

получим

, что равносильно

.
Второй замечательный предел

Рассмотрим выражение

, где n – натуральное число.

Задаем для n неограниченно возрастающие значения и вычисляем

. Получим

следующий результат

Как видно из таблицы при увеличении n выражение

изменяется все медленнее и стремится к некоторому пределу, приближенно равному 2,718.

Теорема
Последовательность

стремится к конечному пределу, заключенному между 2 и 3.

e. Итак
, е=2,7182818284…
Рассмотрим функцию , где . Можно доказать, что
Другое выражение для числа е. Полагая , будем иметь
При вычислении пределом полезно применять следующие формулы:
; ; .
Данные формулы легко получаются из двух основных формул.
Примеры с решениями
1.Найти
Решение. Используя первый замечательный предел, имеем
= =

.

Решение. Сделаем замену . Тогда получим
=
5. Найти
Решение. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное, то есть

=

=

=

предел.
=
7. Найти
Решение. Преобразуем выражение в скобках и выделим второй замечательный предел.
=
8. Найти

. Таким образом, при данная функция представляет
собой степень, основание которой стремится к единице, а показатель к бесконечности (неопределенность вида ). Преобразуем функцию так, чтобы использовать второй замечательный предел.
= = =
. Так как , при , то
. Принимая во внимание, что ,
окончательно получаем .
9. Найти
Решение. Сделав замену , получим второй
замечательный предел, а именно