Первый и второй замечательные пределы и способы их вычисления

Теорема Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной
в радианах, равен единице, то есть (1)
Доказательство

Рассмотрим в координатной плоскости круг радиуса R с центром в начале координат

, то есть

или

.

В силу четности функций

и

это неравенство справедливо и для интервала

что в силу

непрерывности функции cosx при х=0 имеет место равенство

получим

, что равносильно

.
Второй замечательный предел

Рассмотрим выражение

, где n – натуральное число.

Задаем для n неограниченно возрастающие значения и вычисляем

. Получим

следующий результат

Как видно из таблицы при увеличении n выражение

изменяется все медленнее и стремится к некоторому пределу, приближенно равному 2,718.

Теорема
Последовательность

стремится к конечному пределу, заключенному между 2 и 3.

e. Итак
, е=2,7182818284…
Рассмотрим функцию , где . Можно доказать, что
Другое выражение для числа е. Полагая , будем иметь
При вычислении пределом полезно применять следующие формулы:
; ; .
Данные формулы легко получаются из двух основных формул.
Примеры с решениями
1.Найти
Решение. Используя первый замечательный предел, имеем
= =

.

Решение. Сделаем замену . Тогда получим
=
5. Найти
Решение. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное, то есть

=

=

=

предел.
=
7. Найти
Решение. Преобразуем выражение в скобках и выделим второй замечательный предел.
=
8. Найти