Теория вероятностей и математическая статистика

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Теория вероятностей и математическая статистика

Содержание

2. АКТУАЛЬНОСТЬ РОЛЬ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ: ПОЗВОЛЯЕТ ЛУЧШЕ ОРИЕНТИРОВАТЬСЯ В ОКРУЖАЮЩЕМ МИРЕ, ГДЕ НЕ ВСЕ ЖЕСТКО ДЕТЕРМИНИРОВАНО; ЯВЛЯЕТСЯ
3. Лекция 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
4. Часть I. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
5. 1. ВИДЫ СОБЫТИЙ ВСЕ СОБЫТИЯ В ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПРИНЯТО ОБОЗНАЧАТЬ ЗАГЛАВНЫМИ БУКВАМИ ЛАТИНСКОГО АЛФАВИТА: A, B,
6. Статистические закономерности СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ИМЕЮТ ПРИЧИНЫ, И В МИРЕ ЭТИХ СОБЫТИЙ СУЩЕСТВУЮТ ЗАКОНОМЕРНОСТИ. ОДНАКО ПРОЯВЛЯЮТСЯ ОНИ
7. МНОЖЕСТВО СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ КАК БЫ ОГРАНИЧЕНО С ДВУХ СТОРОН СОБЫТИЯМИ НЕВОЗМОЖНЫМИ И ДОСТОВЕРНЫМИ. НЕВОЗМОЖНОЕ – СОБЫТИЕ,
8. ДОСТОВЕРНОЕ – СОБЫТИЕ, КОТОРОЕ В ДАННОМ ИСПЫТАНИИ ОБЯЗАТЕЛЬНО ПРОИЗОЙДЕТ (НЕ МОЖЕТ НЕ ПРОИЗОЙТИ). Например, если в
9. Среди НЕСКОЛЬКИХ случайных событий могут быть события РАВНОВОЗМОЖНЫЕ, НЕСОВМЕСТНЫЕ, ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ ?
10. Равновозможные события События называются равновозможными, если не существует причин, в силу которых одно из них происходило
11. Несовместные события События называются несовместными, если появление одного из них в данном испытании исключает появление других
12. Противоположные события Два события называются противоположными, если одно из них заключается в том, что другое не
13. Примечание ЛЮБЫЕ ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ СОБЫТИЯ НЕСОВМЕСТНЫ. Обратное утверждение в общем случае неверно.
14. 2. КОМБИНАЦИИ СОБЫТИЙ РАССМОТРИМ ДВЕ КОМБИНАЦИИ СОБЫТИЙ: СУММУ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ. ОБОЗНАЧЕНИЕ этих комбинаций ДЛЯ ДВУХ СОБЫТИЙ,
15. Сумма событий СУММА СОБЫТИЙ – это событие, состоящее в том, что происходит ИЛИ А, ИЛИ В,
16. Произведение событий ПРОИЗВЕДЕНИЕ СОБЫТИЙ – это событие, состоящее в том, что происходит И А, И В,
17. 3. ПОНЯТИЕ ВЕРОЯТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТЬ ЕСТЬ КОЛИЧЕСТВЕННАЯ МЕРА ВОЗМОЖНОСТИ СОБЫТИЯ. Существует несколько определений вероятности. Чаще всего используются
18. Классическое определение вероятности ВЕРОЯТНОСТЬЮ СОБЫТИЯ «А» НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ЧИСЛА m БЛАГОПРИЯТСТВУ-ЮЩИХ «А» ИСХОДОВ ИСПЫТАНИЯ К ОБЩЕМУ
19. Предварительные пояснения к статистическому определению вероятности Пусть производится серия из n испытаний, и в этой серии
20. Статистическое определение вероятности ВЕРОЯТНОСТЬЮ СОБЫТИЯ А НАЗЫВАЕТСЯ ПРЕДЕЛ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ЧАСТОТЫ ЭТОГО СОБЫТИЯ ПРИ НЕОГРАНИЧЕННОМ УВЕЛИЧЕНИИ ЧИСЛА
21. Следствия из определений вероятности ВЕРОЯТНОСТЬ НЕВОЗМОЖНОГО СОБЫТИЯ РАВНА НУЛЮ. ВЕРОЯТНОСТЬ ДОСТОВЕРНОГО СОБЫТИЯ РАВНА ЕДИНИЦЕ. ВЕРОЯТНОСТЬ ЛЮБОГО
22. 4. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB). ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ ДЛЯ НЕСОВМЕСТНЫХ СОБЫТИЙ:
23. 5. ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В ОБЩЕМ ВИДЕ ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ СПРАВЕДЛИВА ДЛЯ ЛЮБЫХ, В ТОМ ЧИСЛЕ ЗАВИСИМЫХ,
25. Скачать презентацию

Слайд 2

АКТУАЛЬНОСТЬ
РОЛЬ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ:
ПОЗВОЛЯЕТ ЛУЧШЕ ОРИЕНТИРОВАТЬСЯ В ОКРУЖАЮЩЕМ МИРЕ, ГДЕ НЕ ВСЕ

ЖЕСТКО ДЕТЕРМИНИРОВАНО;
ЯВЛЯЕТСЯ ОСНОВОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ.

РОЛЬ МАТЕМАТИЧЕС-КОЙ СТАТИСТИКИ:
НУЖНА ДЛЯ СИСТЕ-МАТИЗАЦИИ И ОЦЕНКИ ЭКСПЕРИ-МЕНТАЛЬНЫХ ДАН-НЫХ В ПРОЦЕССЕ РЕШЕНИЯ НАУЧНЫХ И ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
ЛЕЖИТ В ОСНОВЕ МЕДИЦИНСКОЙ СТАТИСТИКИ

Слайд 3

Лекция 1.
ОСНОВЫ
ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Слайд 4

Часть I.
СЛУЧАЙНЫЕ
СОБЫТИЯ

Слайд 5

1. ВИДЫ СОБЫТИЙ
ВСЕ СОБЫТИЯ
В ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ПРИНЯТО ОБОЗНАЧАТЬ
ЗАГЛАВНЫМИ
БУКВАМИ
ЛАТИНСКОГО

АЛФАВИТА: A, B, C, …
ТЕОРИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ ОПЕРИРУЕТ
СЛУЧАЙНЫМИ
СОБЫТИЯМИ.

СЛУЧАЙНОЕ –
СОБЫТИЕ, КОТОРОЕ
В ДАННОМ ИСПЫТАНИИ МОЖЕТ ПРОИЗОЙТИ,
А МОЖЕТ И НЕ
ПРОИЗОЙТИ.
Примеры:
падение монеты определенной стороной вверх;
выпадение определенного числа очков на кубике для настольной игры.

Слайд 6

Статистические закономерности
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ИМЕЮТ ПРИЧИНЫ,
И В МИРЕ ЭТИХ СОБЫТИЙ СУЩЕСТВУЮТ

ЗАКОНОМЕРНОСТИ.
ОДНАКО ПРОЯВЛЯЮТСЯ ОНИ ЛИШЬ ПРИ БОЛЬШОМ ЧИСЛЕ ИСПЫТАНИЙ.
ТАКИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ НАЗЫВАЮТСЯ
СТАТИСТИЧЕСКИМИ.
Пример - основной закон радиоактивного распада.

Слайд 7

МНОЖЕСТВО
СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ КАК БЫ ОГРАНИЧЕНО С ДВУХ СТОРОН
СОБЫТИЯМИ
НЕВОЗМОЖНЫМИ
И
ДОСТОВЕРНЫМИ.
НЕВОЗМОЖНОЕ

– СОБЫТИЕ, КОТОРОЕ В ДАННОМ ИСПЫТАНИИ
НЕ МОЖЕТ ПРОИЗОЙТИ.
Например, если
на гранях кубика число
очков от 1 до 6, то
выпадение семи очков при единичном
бросании кубика –
невозможное событие.

Слайд 8

ДОСТОВЕРНОЕ –
СОБЫТИЕ, КОТОРОЕ В ДАННОМ ИСПЫТАНИИ ОБЯЗАТЕЛЬНО ПРОИЗОЙДЕТ
(НЕ МОЖЕТ

НЕ ПРОИЗОЙТИ).

Например, если
в некоторой корзине
(часто говорят "в урне")
имеются ТОЛЬКО КРАСНЫЕ ШАРЫ,
ТО ВЫТАСКИВАНИЕ ИЗ НЕЕ ИМЕННО КРАСНОГО ШАРА – событие ДОСТОВЕРНОЕ.
В то же время вытаскивание черного шара – событие невозможное.

Слайд 9

Среди НЕСКОЛЬКИХ случайных событий могут быть события
РАВНОВОЗМОЖНЫЕ,
НЕСОВМЕСТНЫЕ,
ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ
?

Слайд 10

Равновозможные события
События называются равновозможными,
если не существует причин,
в силу которых одно

из них происходило бы чаще других.

Пример
В урне 2 КРАСНЫХ
и 2 ЧЕРНЫХ шара.
Тогда
ВЫТАСКИВАНИЕ КРАСНОГО ШАРА
и ВЫТАСКИВАНИЕ ЧЕРНОГО ШАРА – события РАВНОВОЗМОЖНЫЕ.

Слайд 11

Несовместные события
События называются несовместными,
если появление одного из них в данном испытании

исключает появление других в том же испытании.

Пример
Имеется урна с красными и черными шарами.
Предполагается, что в руке помещается только один шар.
Тогда ПОЯВЛЕНИЕ при ЕДИНИЧНОМ вытаскивании
одновременно
КРАСНОГО ШАРА и ЧЕРНОГО ШАРА –
события НЕСОВМЕСТНЫЕ.

Слайд 12

Противоположные события
Два события
называются
противоположными,
если одно из них заключается в том,

что другое
не происходит.
Т.е., вместе они охватывают все возможные итоги испытания.

ОБОЗНАЧЕНИЕ:
(читается "А" и "НЕ А").
Пример
Выпадение орла и
выпадение решки
при единичном бросании монеты –
противоположные события
(если исключить возмож-
ность установки монеты
на ребро).

Слайд 13

Примечание

ЛЮБЫЕ
ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ СОБЫТИЯ
НЕСОВМЕСТНЫ.
Обратное утверждение
в общем случае
неверно.

Слайд 14

2. КОМБИНАЦИИ СОБЫТИЙ
РАССМОТРИМ ДВЕ КОМБИНАЦИИ СОБЫТИЙ:
СУММУ
И
ПРОИЗВЕДЕНИЕ.
ОБОЗНАЧЕНИЕ этих комбинаций
ДЛЯ ДВУХ СОБЫТИЙ,
СОБЫТИЯ

А И СОБЫТИЯ В :
сумма – «А + В»,
произведение – «А · В».

Слайд 15

Сумма событий
СУММА СОБЫТИЙ –
это событие, состоящее в том,
что происходит
ИЛИ А,

ИЛИ В, ИЛИ ОНИ ОБА ВМЕСТЕ.
ИНАЧЕ:
ЕСЛИ ПРОИСХОДИТ ХОТЯ БЫ ОДНО ИЗ НИХ.

СОЮЗЫ "ИЛИ", "ХОТЯ БЫ" – УКАЗАНИЕ НА СУММУ СОБЫТИЙ.

Слайд 16

Произведение событий
ПРОИЗВЕДЕНИЕ СОБЫТИЙ –
это событие, состоящее в том,
что происходит
И А,

И В,
Т.Е. ОНИ ПОЯВЛЯЮТСЯ ОБА, СОВМЕСТНО.

СОЮЗ "И" – УКАЗАНИЕ НА ПРОИЗВЕДЕНИЕ СОБЫТИЙ.
ПРОИЗВЕДЕНИЕ НЕСОВМЕСТНЫХ СОБЫТИЙ ЕСТЬ СОБЫТИЕ НЕВОЗМОЖНОЕ.

Слайд 17

3. ПОНЯТИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
ВЕРОЯТНОСТЬ ЕСТЬ КОЛИЧЕСТВЕННАЯ МЕРА ВОЗМОЖНОСТИ СОБЫТИЯ.
Существует несколько определений
вероятности.

Чаще всего используются КЛАССИЧЕСКОЕ и СТАТИСТИЧЕСКОЕ определения.

Слайд 18

Классическое определение вероятности
ВЕРОЯТНОСТЬЮ
СОБЫТИЯ «А» НАЗЫВАЕТСЯ
ОТНОШЕНИЕ ЧИСЛА m
БЛАГОПРИЯТСТВУ-ЮЩИХ «А»
ИСХОДОВ

ИСПЫТАНИЯ К ОБЩЕМУ ЧИСЛУ n
ВСЕХ ВОЗМОЖНЫХ
ИСХОДОВ ИСПЫТАНИЯ.

Так, если в урне 2 красных и 3 белых шара, то вероятность вытащить при единич-ном испытании красный шар - 2/5,
белый шар – 3/5.

Слайд 19

Предварительные пояснения к статистическому определению вероятности
Пусть производится серия из n

испытаний,
и в этой серии событие А происходит m раз.
Число m называется ЧАСТОТОЙ,
а отношение m к n W(A) = m / n –
ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ЧАСТОТОЙ
события А.
Если число испытаний в
серии достаточно велико,
то относительная частота
события - его устойчивая характеристика:
она почти не меняется
от серии к серии.

Слайд 20

Статистическое определение вероятности
ВЕРОЯТНОСТЬЮ
СОБЫТИЯ А НАЗЫВАЕТСЯ
ПРЕДЕЛ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ЧАСТОТЫ
ЭТОГО СОБЫТИЯ
ПРИ НЕОГРАНИЧЕННОМ

УВЕЛИЧЕНИИ ЧИСЛА ИСПЫТАНИЙ:

Если n достаточно
велико, то

Это – «опытная вероят-ность». Именно она обычно определяется на практике.

Слайд 21

Следствия из определений вероятности
ВЕРОЯТНОСТЬ НЕВОЗМОЖНОГО СОБЫТИЯ РАВНА НУЛЮ.
ВЕРОЯТНОСТЬ ДОСТОВЕРНОГО СОБЫТИЯ

РАВНА ЕДИНИЦЕ.

ВЕРОЯТНОСТЬ ЛЮБОГО СЛУЧАЙ-НОГО СОБЫТИЯ МОЖЕТ ПРИНИМАТЬ ЗНАЧЕНИЯ ЛИШЬ В ИНТЕРВАЛЕ МЕЖДУ ЭТИМИ ЧИСЛАМИ:
0 ≤ P(A) ≤ 1.

Слайд 22

4. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB).
ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ

ДЛЯ НЕСОВМЕСТНЫХ СОБЫТИЙ:
P(A+B) = P(A) + P(B).

Слайд 23

5. ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

В ОБЩЕМ ВИДЕ
ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ СПРАВЕДЛИВА ДЛЯ ЛЮБЫХ,

В ТОМ ЧИСЛЕ
ЗАВИСИМЫХ, СОБЫТИЙ.
СОБЫТИЕ B
ЗАВИСИТ
ОТ СОБЫТИЯ А,
ЕСЛИ
ВЕРОЯТНОСТЬ B
ЗАВИСИТ ОТ ТОГО,
ПРОИЗОШЛО ЛИ А.

Теория вероятностей и математическая статистика

Содержание

АКТУАЛЬНОСТЬРОЛЬ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ:ПОЗВОЛЯЕТ ЛУЧШЕ ОРИЕНТИРОВАТЬСЯ В ОКРУЖАЮЩЕМ МИРЕ, ГДЕ НЕ ВСЕ

Лекция 1. ОСНОВЫТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Часть I.СЛУЧАЙНЫЕСОБЫТИЯ

1. ВИДЫ СОБЫТИЙ ВСЕ СОБЫТИЯ В ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПРИНЯТО ОБОЗНАЧАТЬ ЗАГЛАВНЫМИ БУКВАМИЛАТИНСКОГО

Статистические закономерностиСЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ ИМЕЮТ ПРИЧИНЫ, И В МИРЕ ЭТИХ СОБЫТИЙ СУЩЕСТВУЮТ

МНОЖЕСТВОСЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ КАК БЫ ОГРАНИЧЕНО С ДВУХ СТОРОН СОБЫТИЯМИ НЕВОЗМОЖНЫМИ И ДОСТОВЕРНЫМИ.НЕВОЗМОЖНОЕ

ДОСТОВЕРНОЕ – СОБЫТИЕ, КОТОРОЕ В ДАННОМ ИСПЫТАНИИ ОБЯЗАТЕЛЬНО ПРОИЗОЙДЕТ (НЕ МОЖЕТ

Среди НЕСКОЛЬКИХ случайных событий могут быть событияРАВНОВОЗМОЖНЫЕ,НЕСОВМЕСТНЫЕ, ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ?

Равновозможные событияСобытия называются равновозможными,если не существует причин, в силу которых одно

Несовместные событияСобытия называются несовместными,если появление одного из них в данном испытании

Противоположные событияДва события называются противоположными,если одно из них заключается в том,

Примечание ЛЮБЫЕ ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ СОБЫТИЯ НЕСОВМЕСТНЫ.Обратное утверждение в общем случаеневерно.

2. КОМБИНАЦИИ СОБЫТИЙРАССМОТРИМ ДВЕ КОМБИНАЦИИ СОБЫТИЙ:СУММУИПРОИЗВЕДЕНИЕ.ОБОЗНАЧЕНИЕ этих комбинацийДЛЯ ДВУХ СОБЫТИЙ, СОБЫТИЯ

Сумма событийСУММА СОБЫТИЙ –это событие, состоящее в том, что происходит ИЛИ А,

Произведение событийПРОИЗВЕДЕНИЕ СОБЫТИЙ –это событие, состоящее в том, что происходит И А,

3. ПОНЯТИЕ ВЕРОЯТНОСТИВЕРОЯТНОСТЬ ЕСТЬ КОЛИЧЕСТВЕННАЯ МЕРА ВОЗМОЖНОСТИ СОБЫТИЯ. Существует несколько определенийвероятности.

Классическое определение вероятности ВЕРОЯТНОСТЬЮСОБЫТИЯ «А» НАЗЫВАЕТСЯ ОТНОШЕНИЕ ЧИСЛА m БЛАГОПРИЯТСТВУ-ЮЩИХ «А» ИСХОДОВ

Предварительные пояснения к статистическому определению вероятности Пусть производится серия из n

Статистическое определение вероятности ВЕРОЯТНОСТЬЮСОБЫТИЯ А НАЗЫВАЕТСЯ ПРЕДЕЛ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ЧАСТОТЫ ЭТОГО СОБЫТИЯПРИ НЕОГРАНИЧЕННОМ

Следствия из определений вероятности ВЕРОЯТНОСТЬ НЕВОЗМОЖНОГО СОБЫТИЯ РАВНА НУЛЮ.ВЕРОЯТНОСТЬ ДОСТОВЕРНОГО СОБЫТИЯ

4. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙP(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB).ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ

5. ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В ОБЩЕМ ВИДЕ ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ СПРАВЕДЛИВА ДЛЯ ЛЮБЫХ,

Похожие презентации