Плоскость в пространстве

(A, B, C)

фиксированная точка плоскости
M0(r0) = M0(x0, y0, z0).

- M(r) = M(x, y, z) лежит на P

- векторное уравнение плоскости

B, C, D — ненулевые.

Частные случаи:
A = 0 => By + Cz + D = 0 или n = (0, B, C) - плоскость параллельна оси Ox.
D = 0 => Ax + By + Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.
A = 0, B = 0 => Cz + D = 0 или n = (0, 0, C) - плоскость параллельна Oxy.
A = 0, B = 0, D = 0 => z = 0 - прямая совпадает с плоскостью Oxy.

Выводы:
Общее уравнение плоскости - линейное уравнение, коэффициенты которого - координаты нормального вектора.
Если коэффициент отсутствует какая-либо координата, то плоскость параллельна этой оси.
Если отсутствует свободный член, то плоскость проходит через начало координат.

Ox, Oy и Oz соответственно.

8.2.3. Уравнение плоскости в отрезках

Ax+By+Cz+D = 0 полное =>

Замечание: для частных случаев общего уравнения плоскости уравнение плоскости в отрезках не существует.

+ D = 0, (D = – p)

8.2.4. Нормальное уравнение плоскости

где α, β, γ - углы, образуемые
нормалью с осями координат.

точку
параллельно двум неколлинеарным векторам

Уравнение плоскости, проходящей через
три заданные точки

A2x + B2y + C2z + D2 = 0

8.2.7. Взаимное расположение плоскостей

y0; z0).
Найти: расстояние от точки M0 до плоскости.

8.2.8. Расстояние от точки до плоскости

z0), вектор
нормали n = (A, B).

Найти: уравнение плоскости, проходящей через М0 и перпендикулярной n.

Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0

М0 лежит на плоскости => Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0

=> A(x – x0) + B(y – y0) + C(z - z0) = 0

По другому: любой вектор M0M лежит в плоскости P =>

1; 1), M2(2; -1; 0), M3(0; 3; 0).

Найти: общее уравнение плоскости, проходящей через M1, M2, M3.

4z + 5 = 0, P2: y + 3 = 0

Найти: угол между P1 и P2.

n1 = (2; 4; -4) = (1; 2; -2),

n2 = (0; 1; 0).

4y + 2z + 1 = 0, точка M(2; 3; -1).

Найти: уравнение плоскости, проходящей через M
и параллельной P.

n1 = (5; -4; 2) = n2

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0

5(x – x0) – 4(y – y0) + 2(z – z0) = 0

5x - 4y + 2z + D = 0

5x0 - 4y0 + 2z0 + D = 0

5∙2 - 4 ∙ 3 + 2 ∙(-1) + D = 0

D = 4

5x - 4y + 2z + 4 = 0

5(x – 2) – 4(y – 3) + 2(z +1) = 0

5x – 10 – 4y + 12 + 2z + 2 = 0

5x – 4y + 2z + 4 = 0

Первый способ:

Второй способ: