Понятие производной функции в точке

Август 2, 2022

Главная
Математика
Понятие производной функции в точке

Содержание

2. Тайны планетных орбит. Древнегреческие учёные умели решать немногие задачи кинематики – рассчитать либо равномерное прямолинейное движение,
3. В конце 17 века Исаак Ньютон открыл законы динамики, сформулировал закон всемирного тяготения и развил математические
4. Он также развил новое исчисление, которое оказалось по сути дела тождественным построенному Ньютоном. Обозначения, введённые Лейбницем,
5. Рассмотрим график функции вблизи точки М(1;1), изображённый в разных масштабах.
6. Как изменилась конфигурация графика?
7. Определите радиус окрестности точки х = 1 Как изменилась конфигурация графика?
8. Основные выводы 1. Чем крупнее масштаб, тем меньше график функции будет отличаться от некоторой прямой, проходящей
9. Cвойство «линейности в малом». Выразим это свойство на языке формул. Как перевести на математический язык слова
10. х х0 Изменим x0 на величину ∆x. ∆x - называется приращением аргумента. x0 + ∆x x0
11. Величина y(x) – y(x0) называется приращением функции в точке x0 и обозначается ∆y(x0) .
12. Таким образом, чтобы вычислить приращение функции f(x) при переходе от точки x0 к точке x =
13. Определение Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке x0 , если её приращение в этой
14. Что такое коэффициент А?
15. Значит, где - б. м. ф. при по определению предела функции в точке. Выразим из равенства
16. Определение Производной функции y = f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в точке
17. Рассмотрим пример из физики, который также приводит к понятию производной.
18. Пусть тело движется по закону Надо найти скорость движения на промежутке времени Если то
19. Используя определение, найдите производные функций в точке :
20. Чтобы найти производную функции в точке, надо: найти приращение функции в точке ; найти отношение приращения
21. Найдите производные следующих функций в точке :
23. Скачать презентацию

Слайд 2

Тайны планетных орбит.
Древнегреческие учёные умели решать немногие задачи кинематики – рассчитать

либо равномерное прямолинейное движение, либо равномерное вращение вокруг оси.
А планеты на небосводе двигались по самым замысловатым кривым . Свести эти движения планет к простым древним учёным не удавалось.
Лишь в 17 веке немецкому учёному Иоганну Кеплеру удалось сформулировать законы движения планет. Оказалось, что планеты движутся по эллипсам, и притом неравномерно. Объяснить, почему это так, Кеплер не смог.

Слайд 3

В конце 17 века Исаак Ньютон открыл законы динамики, сформулировал закон

всемирного тяготения и развил математические методы, позволявшие сводить неравномерное к равномерному, неоднородное к однородному, криволинейное к прямолинейному.
В основе лежала простая идея – движение любого тела за малый промежуток времени можно приближённо рассматривать как прямолинейное и равномерное.
Одновременно с Ньютоном немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц изучал, как проводить касательные к произвольным кривым.

Слайд 4

Он также развил новое исчисление, которое оказалось по сути дела тождественным

построенному Ньютоном. Обозначения, введённые Лейбницем, оказались настолько удачными, что сохранились и по сей день.
Новая математика Ньютона и Лейбница состояла из двух больших частей – дифференциального и интегрального исчислений.
В первом из них говорилось, как, изучая малую часть явления, сводить неравномерное к равномерному.
Во второй – как из малых равномерных частей конструировать сложное неравномерное явление.

Слайд 5

Рассмотрим график функции вблизи точки М(1;1),
изображённый в разных масштабах.

Слайд 6

Как изменилась конфигурация графика?

Слайд 7

Определите радиус окрестности точки х = 1
Как изменилась конфигурация графика?

Слайд 8

Основные выводы
1. Чем крупнее масштаб, тем меньше график функции будет отличаться

от некоторой прямой, проходящей через точку М(1;1).

2. То же самое будет происходить с графиком функции вблизи любой другой точки.

3. Этим свойством обладают и многие другие кривые: окружность, гипербола, синусоида и т. д.

Такое свойство функций называют «линейность в малом»

Слайд 9

Cвойство «линейности в малом».
Выразим это свойство на языке формул.
Как перевести на

математический язык слова «увеличить масштаб»?

Радиус окрестности точки x0 уменьшается.

х0

Слайд 10

х
х0
Изменим x0 на величину ∆x.
∆x - называется приращением аргумента.
x0 + ∆x
x0

- ∆x

x – новое значение аргумента

Слайд 11

Величина y(x) – y(x0) называется приращением функции в точке x0 и

обозначается ∆y(x0) .

Слайд 12

Таким образом, чтобы вычислить приращение функции f(x) при переходе от точки

x0 к точке x = x0 + Δx , нужно:

1. найти значение функции f(x0);

2. найти значение функции f(x0 + Δx)

3. найти разность f(x0 + Δx) – f(x0)

Слайд 13

Определение
Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке x0 , если

её приращение в этой точке можно представить в виде где α – пренебрежимо мала по сравнению с ∆х, А – некоторое действительное число.

Слайд 14

Что такое коэффициент А?

Слайд 15

Значит,
где - б. м. ф. при
по определению предела функции в

точке.

Выразим из равенства коэффициент А

Слайд 16

Определение
Производной функции y = f(x) в точке x0 называется предел отношения

приращения функции в точке x0 к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Операция отыскания производной функции называется дифференцированием.

Слайд 17

Рассмотрим пример из физики, который также приводит к понятию производной.

Слайд 18

Пусть тело движется по закону
Надо найти скорость движения на промежутке

времени

Если

то

Слайд 19

Используя определение, найдите производные функций в точке :

Слайд 20

Чтобы найти производную функции в точке, надо:
найти приращение функции в точке

;
найти отношение приращения функции к приращению аргумента;
вычислить предел полученного отношения при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Слайд 21