Дифференциальное исчисление

Содержание

Слайд 2

Производной функции в точке называется предел, если он существует и конечен,

Производной функции в точке называется предел, если он существует и конечен,

отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.
Слайд 3

Производная

Производная

Слайд 4

Производная Геометрический смысл производной функции: производная функции в точке равна тангенсу

Производная

Геометрический смысл производной функции: производная функции в точке равна тангенсу

угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке с положительным направлением оси 0х.
Уравнение касательной к графику функции, проведённой в точке с учётом геометрического смысла производной имеет вид:
Слайд 5

Производная Нахождение производной функции называется дифференцированием функции. Критерий дифференцируемости функции в

Производная

Нахождение производной функции называется дифференцированием функции.
Критерий дифференцируемости функции в

точке: Чтобы функция была дифференцируемой в некоторой точке необходимо и достаточно, чтобы она в этой точке имела конечную производную.
Функция называется дифференцируемой на множестве, если она дифференцируема в каждой точке этого множества.
Слайд 6

Теорема (Необходимое условие дифференцируемости функции): Если функция дифференцируема в некоторой точке,

Теорема (Необходимое условие дифференцируемости функции): Если функция дифференцируема в некоторой

точке, то она в этой точке непрерывна. (Обратное утверждение неверно).
Слайд 7

Правила дифференцирования Пусть С - постоянная величина, 1. 2. 3. 4. 5.

Правила дифференцирования

Пусть С - постоянная величина,
1.
2.
3.
4.
5.

Слайд 8

Формулы дифференцирования

Формулы дифференцирования

Слайд 9

Формулы дифференцирования

Формулы дифференцирования

Слайд 10

Производная Производная сложной функции При условии, что функции имеют производные в соответствующих точках.

Производная

Производная сложной функции
При условии, что функции имеют производные в соответствующих

точках.
Слайд 11

Задача Пример. Найти производную функции

Задача

Пример. Найти производную функции

Слайд 12

Задача Пример. Найти производную функции Ответ:

Задача

Пример. Найти производную функции
Ответ:

Слайд 13

Задача Пример. Найти производную функции

Задача

Пример. Найти производную функции

Слайд 14

Задача Пример. Найти производную функции Ответ:

Задача

Пример. Найти производную функции
Ответ:

Слайд 15

Задача Пример. Найти производную функции

Задача

Пример. Найти производную функции

Слайд 16

Задача Ответ:

Задача

Ответ:

Слайд 17

Задача Написать уравнение касательной к графику функции в точке его пересечения с осью ординат.

Задача

Написать уравнение касательной к графику
функции в точке его пересечения

с
осью ординат.
Слайд 18

Задача Решение:

Задача

Решение:

Слайд 19

Задача Написать уравнение касательной к графику функции перпендикулярной прямой Решение:

Задача

Написать уравнение касательной к графику функции перпендикулярной прямой Решение:

Слайд 20

Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению

Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функции к относительному

приращению переменной, когда приращение этой переменной стремится к нулю.
Слайд 21

Эластичность Из определения вытекает формула расчёта эластичности функции:

Эластичность

Из определения вытекает формула расчёта эластичности функции:

Слайд 22

Эластичность Эластичность функции приближённо показывает на сколько процентов изменится функция при изменении независимой переменной на 1%.

Эластичность

Эластичность функции приближённо показывает на сколько процентов изменится функция при

изменении независимой переменной на 1%.
Слайд 23

Свойства эластичности Эластичность функции равна произведению независимой переменной на темп изменения функции

Свойства эластичности

Эластичность функции равна произведению независимой переменной на темп изменения функции

Слайд 24

Свойства эластичности 3. Эластичности взаимно обратных функции являются взаимно обратными:

Свойства эластичности

3. Эластичности взаимно обратных функции являются взаимно обратными:

Слайд 25

Задача Пример. Зависимость между себестоимостью единицы продукции y (тыс.руб.) и выпуском

Задача

Пример. Зависимость между себестоимостью единицы продукции y (тыс.руб.) и выпуском продукции

х (млн.руб.) выражается функцией
Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции, равном 150 млн.руб.
Слайд 26

Задача Решение: Получили то, что при выпуске продукции, равном 150 млн.руб.

Задача

Решение:
Получили то, что при выпуске продукции, равном 150 млн.руб. увеличение этого

выпуска на 1% приведёт к снижению себестоимости на 3%.
Слайд 27

Производная Основные теоремы дифференциального исчисления: 1. Теорема Ферма. Если дифференцируемая на

Производная

Основные теоремы дифференциального исчисления:
1. Теорема Ферма. Если дифференцируемая на множестве

функция достигает наибольшего или наименьшего значения в какой-либо точке этого множества, то производная функции в этой точке равна нулю.
Слайд 28

Производная 2. Теорема Ролля. Пусть функция непрерывна на некотором отрезке, дифференцируема

Производная

2. Теорема Ролля. Пусть функция непрерывна на некотором отрезке, дифференцируема внутри

отрезка и на концах отрезка принимает равные значения, то внутри отрезка найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.
Слайд 29

Производная 3. Теорема Лагранжа. Пусть функция непрерывна на некотором отрезке [a;

Производная

3. Теорема Лагранжа. Пусть функция непрерывна на некотором отрезке [a; b],

дифференцируема внутри отрезка (на интервале (a; b) ), то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка , для которой справедливо равенство:
Слайд 30

Производная 4. Теорема Ферма. Пусть функции непрерывны на некотором отрезке [a;

Производная

4. Теорема Ферма. Пусть функции непрерывны на некотором отрезке [a; b],

дифференцируемы на интервале (a; b) и во вех точках этого интервала, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка , для которой справедливо равенство:
Слайд 31

Правило Лопиталя Применяется при вычислении пределов для устранения неопределённостей видов

Правило Лопиталя

Применяется при вычислении пределов для устранения неопределённостей видов

Слайд 32

Правило Лопиталя

Правило Лопиталя

Слайд 33

Задача Пример. Найти

Задача

Пример. Найти

Слайд 34

Задача Пример. Найти Решение:

Задача

Пример. Найти
Решение:

Слайд 35

Задача Пример. Найти

Задача

Пример. Найти

Слайд 36

Задача Пример. Найти Решение:

Задача

Пример. Найти
Решение:

Слайд 37

Задача Пример. Найти

Задача

Пример. Найти

Слайд 38

Задача Пример. Найти Решение:

Задача

Пример. Найти
Решение:

Слайд 39

Производная Достаточные признаки монотонности функции: Если во всех точках некоторого множества

Производная

Достаточные признаки монотонности функции:
Если во всех точках некоторого множества производная

дифференцируемой функции положительна, то функция на этом множестве возрастает;
Если во всех точках некоторого множества производная дифференцируемой функции отрицательна, то функция на этом множестве убывает;
Слайд 40

Производная 3. Если во всех точках некоторого множества производная дифференцируемой функции

Производная

3. Если во всех точках некоторого множества производная дифференцируемой функции равна

нулю, то функция на этом множестве постоянна;
Слайд 41

Точка является точкой максимума функции , если найдётся такая окрестность этой

Точка является точкой максимума функции , если найдётся такая окрестность

этой точки, во всех точках которой выполнено неравенство:
Слайд 42

Точка является точкой минимума функции , если найдётся такая окрестность этой

Точка является точкой минимума функции , если найдётся такая окрестность

этой точки, во всех точках которой выполнено неравенство:
Точки максимума и минимума являются точками экстремума (локального экстремума) функции.
Слайд 43

Экстремум Необходимое условие существования экстремума функции в точке: Если в некоторой

Экстремум

Необходимое условие существования экстремума функции в точке: Если в некоторой

точке дифференцируемая функция достигает экстремума, то её производная в этой точке или равна нулю, или не существует.
Точки в которых производная функции или равна нулю, или не существует называются критическими (стационарными).
Слайд 44

Экстремум Достаточные условия существования экстремума функции в точке: 1. Если найдётся

Экстремум

Достаточные условия существования экстремума функции в точке:
1. Если найдётся такая

окрестность критической точки, во всех точках которой функция дифференцируема и её производная справа от критической точки знакопостоянна и отличается знаком от производной функции слева, то в этой критической точке функция достигает экстремума, причём, если производная слева положительна, а справа отрицательна, то максимума, а если наоборот, то минимума.
Слайд 45

Экстремум Если функция дважды дифференцируема в некоторой точке и в этой

Экстремум

Если функция дважды дифференцируема в некоторой точке и в этой точке

производная первого порядка равна нулю, а производная второго порядка отлична от нуля, то функция в этой точке достигает экстремума, причём максимума, если вторая производная отрицательна и минимума – если положительна.
(Количество дифференцирований определяет порядок производной).
Слайд 46

Экстремум Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке следует:

Экстремум

Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке следует:
Найти

производную функции
Найти критические точки функции из уравнения
Найти значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку и на концах этого отрезка;
Среди этих значений выбрать наибольшее и наименьшее значения.
Слайд 47

Задача Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-2; 0,5]. Решение:

Задача

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-2; 0,5].
Решение:

Слайд 48

Задача Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-2; 0,5]. Решение:

Задача

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-2; 0,5].
Решение:

Слайд 49

Функция называется выпуклой вниз (или вогнутой) на множестве, если для любых

Функция называется выпуклой вниз (или вогнутой) на множестве, если для

любых двух значений из ООФ выполняется неравенство
Слайд 50

Функция называется выпуклой вверх (или выпуклой) на множестве, если для любых

Функция называется выпуклой вверх (или выпуклой) на множестве, если для

любых двух значений из ООФ выполняется неравенство
Слайд 51

Производная Теорема. Функция вогнута на множестве тогда и только тогда, когда

Производная

Теорема. Функция вогнута на множестве тогда и только тогда, когда

её первая производная на этом множестве возрастает (вторая производная положительна).
Теорема. Функция выпукла на множестве тогда и только тогда, когда её первая производная на этом множестве убывает (вторая производная отрицательна).
Слайд 52

Производная Теорема (достаточное условие перегиба функции). Если вторая производная дважды дифференцируемой

Производная

Теорема (достаточное условие перегиба функции). Если вторая производная дважды дифференцируемой

функции при переходе через некоторую точку меняет свой знак, то эта точка является точкой перегиба её графика.
- Предыдущая
Интегральное исчисление
Следующая -
Бумажные тиски. Вторичная (и окончательная) теория

Похожие презентации

Степень с рациональным показателем. Степенная функция
Возникновение геометрии
Арифметический квадратный корень
Преобразование графиков функции
Презентация по математике "Решение задач обязательной части ГИА" - скачать бесплатно
Взаимное пересечение поверхностей
Перпендикулярность прямой и плоскости
Задачи на нахождение слагаемого и суммы
Длина окружности и площадь круга
Корреляционный анализ. Оценка коэффициента корреляции
Задачи на деление
Логарифм. Основные свойства логарифмов
Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
Подобные треугольники
Сложение и вычитание десятичных дробей Урок-путешествие
Уравнения и неравенства с одной переменной. Урок разноуровнего обобщающего повторения
Презентация по математике "Площадь Единицы площади" - скачать
Формализованное представление ЭА при автоматизированном проектировании
Решение задач на перпендикулярность прямой и плоскости
Решение задач с помощью линейных уравнений
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Смешанные числа
Округление чисел Артамонова Лариса Владимировна, учитель математики МКОУ «Москаленский лицей»
Правильные многогранники
Прямоугольник. Виды прямоугольников
Третий признак равенства треугольников
Область определения функции
Презентация по математике "Деление дробей" - скачать
Вы можете прислать нам Вашу презентацию и мы опубликуем ее на сайте.
Обратная связь
Для правообладателей
Email: Нажмите что бы посмотреть