Последовательности и ряды. Лекция № 5

Август 21, 2022

Главная
Математика
Последовательности и ряды. Лекция № 5

Содержание

2. План лекции Числовой ряд. Определение. Сумма ряда. Ряды с неотрицательными членами. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
3. Числовые ряды. Рассмотрим последовательность чисел a1, a2, a3, . . .,an . Выражение a1+ a2+ a3+
4. Суммы называются частичными суммами ряда Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится, т. е.
5. Ряд называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм расходится, т. е. при неограниченном возрастании n частичная
6. Ряды с неотрицательными членами Если ряд , где , то последовательность его частичных сумм является неубывающей
7. Теорема2 (признак сравнения): Если для двух рядов выполняется условие для любого n, то из сходимости ряда
8. Абсолютная и условная сходимость рядов Ряд a1+ a2+ a3+ . . .+an +… называется абсолютно сходящимся,
9. Функциональные ряды Рассмотрим последовательность функций, имеющих единую область определения. Сумма функций называется функциональным рядом и обозначается
10. Множество точек x из области определения, для которых соответствующий ряд сходится, называется областью сходимости функционального ряда.
12. Скачать презентацию

Слайд 2

План лекции
Числовой ряд. Определение. Сумма ряда.
Ряды с неотрицательными членами.
Абсолютно и условно

сходящиеся ряды.
Функциональные ряды.
Степенные ряды.
Ряд Тейлора.
Применение рядов для вычислений.

Слайд 3

Числовые ряды.
Рассмотрим последовательность чисел
a1, a2, a3, . . .,an .

Выражение a1+ a2+ a3+ . . .+an +…
называется числовым рядом и обозначается
Следовательно
Числа a1, a2,a3,… называются членами ряда, an называется n членом или общим членом ряда.

Слайд 4

Суммы
называются частичными суммами ряда
Ряд называется сходящимся, если последовательность его

частичных сумм сходится, т. е. при неограниченном возрастании n частичная сумма Sn ряда имеет конечный предел. Этот предел называется суммой ряда.

Слайд 5

Ряд называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм расходится, т. е.

при неограниченном возрастании n частичная сумма Sn ряда не имеет конечного предела.
Необходимое условие сходимости:
ряд сходится, если его общий член стремится к нулю, когда его номер неограниченно возрастает.
Не является достаточным для сходимости ряда, т. к. в этом убеждает ряд
- гармонический ряд.

Слайд 6

Ряды с неотрицательными членами
Если ряд , где , то последовательность его

частичных сумм является неубывающей последовательностью.
Теорема 1: Если последовательность частичных сумм ограничена, то ряд сходится, если последовательность неограничена – то ряд расходится.

Слайд 7

Теорема2 (признак сравнения): Если для двух рядов выполняется условие
для любого n,

то из сходимости ряда an следует сходимость ряда bn, а из расходимости ряда an следует расходимость ряда bn.
Теорема 3 (признак Даламбера): если для ряда с положительными членами выполняется условие , то ряд сходится при q<1, и расходится при q>1. Если q = 1, то ряд может и сходится и расходится.

Слайд 8

Абсолютная и условная сходимость рядов
Ряд a1+ a2+ a3+ . .

.+an +… называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд │a1│+ │ a2 │ + │ a3 │ + . . .+ │ an │ +… составленный из его абсолютных величин (модулей).
Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а соответствующий ему ряд из абсолютных величин расходится.

Слайд 9

Функциональные ряды
Рассмотрим последовательность функций,
имеющих единую область определения. Сумма функций
называется

функциональным рядом и обозначается
Если x фиксировано, то ряд станет числовым

Слайд 10

Множество точек x из области определения, для которых соответствующий ряд сходится,

называется областью сходимости функционального ряда.
Частный случай функциональных рядов – степенные ряды.
Функциональный ряд вида
где постоянные коэффициенты называется степенным рядом.

Последовательности и ряды. Лекция № 5

Содержание

План лекцииЧисловой ряд. Определение. Сумма ряда.Ряды с неотрицательными членами.Абсолютно и условно

Числовые ряды.Рассмотрим последовательность чисел a1, a2, a3, . . .,an .

Суммы называются частичными суммами ряда Ряд называется сходящимся, если последовательность его

Ряд называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм расходится, т. е.

Ряды с неотрицательными членамиЕсли ряд , где , то последовательность его

Теорема2 (признак сравнения): Если для двух рядов выполняется условиедля любого n,

Абсолютная и условная сходимость рядов Ряд a1+ a2+ a3+ . .

Функциональные рядыРассмотрим последовательность функций, имеющих единую область определения. Сумма функций называется