Последовательности. Основные понятия и определения. Действительные числа. (Лекция 1)

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Последовательности. Основные понятия и определения. Действительные числа. (Лекция 1)

Содержание

2. 2.4 Для любого числа существует число называемое ему обратным и обозначаемое , для которого 3.Связь операций
3. Определение. Множество элементов, обладающих свойствами 1-5, содержащее более одного элемента, называется множеством действительных чисел, а каждый
4. Расширенная числовая прямая. Окрестности. Геометрически множество действительных чисел изображается направленной прямой, а отдельные числа - точками
5. Множество - полуинтервал; Все они – промежутки расширенной числовой прямой. a,b – концы промежутков; a b-a
6. называются числовой последовательностью. Обозначение последовательности Элемент или член последовательности . Например, соответственно Введем понятие арифметических операций
7. Определение 2. Последовательность называется ограниченной с обеих сторон или просто ограниченной, если существует такие числа M
8. Определение 1. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А можно указать номер N
9. рассматриваемая последовательность является бесконечно большой. Второе утверждение доказывается аналогично, применяя бином Ньютона и определение бесконечно малой
10. Доказательство аналогичное, только, вместо берем Следствие Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно
11. Поэтому последовательность - бесконечно малая. Следствие Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей представляет собой бесконечно
12. Пусть , положим . Начиная с номера N, соответствующему этому выполняется неравенство . Так как ,
13. Пусть - произвольное число. Для числа , такой, что при выполняется неравенство . Поэтому, начиная с
15. Скачать презентацию

Слайд 2

2.4 Для любого числа
существует число называемое ему обратным и обозначаемое

, для которого

3.Связь операций сложения и умножения

4.Упорядоченность
Для любых двух различных чисел a и b имеет место одно из двух соотношений: либо

транзитивность. Если aесли aесли a>b и c>0, то ac>bc

5.Непрерывность. Для любых непустых числовых множеств Х и У, таких что для каждой пары чисел ,

выполняется неравенство

существует число а, удовлетворяющее условию

Х У
_________|_|_|_|_|_______________|_|_|_|_|___________
х а у

Слайд 3

Определение. Множество элементов, обладающих свойствами 1-5, содержащее более одного элемента, называется

множеством действительных чисел, а каждый его элемент – действительным числом.
N – множество натуральных чисел;
Z – множество целых чисел;
Q – множество рациональных чисел.
Для любого числа
и натурального n степень
определяется как
произведение n
сомножителей, равных a.
Пусть a>0 , а n натуральное число. Число b называется корнем n-й степени из числа a, если
. Обозначение
. Неотрицательное значение корня
называется его арифметическим значением.
Если
, где p и q – целые,
, т. е. r –рациональное число, то для a>0
Для любого числа
неотрицательное число
называется
абсолютной величиной или модулем. Свойства модуля

Слайд 4

Расширенная числовая прямая. Окрестности.
Геометрически множество действительных чисел изображается направленной прямой,

а отдельные числа - точками этой прямой. Поэтому совокупность действительных чисел часто называют числовой прямой или числовой осью, а отдельные числа – ее точками.
Часто бывает удобно дополнить множество действительных чисел элементами, обозначаемыми через и - (плюс бесконечность и минус бесконечность). Считаем по определению, что выполняется неравенство . Множество действительных чисел R дополненное этими символами называется расширенным множеством действительных чисел (расширенной числовой прямой) и обозначается . Бесконечности называются также бесконечно удаленными точками числовой прямой, остальные точки называются конечными точками числовой прямой.
Напомним определения некоторых важных типов подмножеств расширенной числовой прямой .
Пусть
Множество
- отрезок;
Множество
- интервал;
Множество
- полуинтервал;

Слайд 5

Множество
- полуинтервал;
Все они – промежутки расширенной числовой прямой.
a,b –

концы промежутков;
a
b-a – длина промежутка ( сам промежуток – конечный).
Важным является понятие окрестности конечной и бесконечно удаленной точки числовой прямой.
Если
, то
- окрестностью
числа а называется интервал
, то есть
В случае
В случае
Предел последовательности
Одной из важнейших операций мат. Анализа является операция предельного перехода. Рассмотрим простейшую форму предельного перехода, основанную на понятии предела числовой последовательности.
1.Числовые последовательности
В элементарном курсе математики было дано понятие последовательности, и примерами могут служить арифметическая и геометрическая прогрессия.
Определение Если каждому числу n натурального ряда чисел 1,2,3,…,n,… ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число , то множество занумерованных чисел
(1)

Слайд 6

называются числовой последовательностью. Обозначение последовательности
Элемент или член последовательности
. Например,

соответственно
Введем понятие арифметических операций над числовыми последовательностями.
Пусть даны последовательности
. Соответственно:
или
- сумма последовательностей;
или
- разность последовательностей;
или
- произведение последовательностей;
или
- частное последовательностей.
2.Ограниченные и неограниченные последовательности
Определение 1. Последовательность
называется ограниченной сверху (снизу),
если существует такое число M (число m), что каждый элемент
последовательности
удовлетворяет неравенству
M – верхняя грань; m – нижняя грань.
- условие ограниченности
последовательности сверху (снизу).
Замечание Любая ограниченная сверху (снизу) последовательность имеет бесчисленное множество верхних ( нижних) граней.

Слайд 7

Определение 2. Последовательность называется ограниченной с обеих сторон или просто

ограниченной, если существует такие числа M и m, что каждый элемент последовательности удовлетворяет неравенству
M – верхняя грань; m – нижняя грань.
Если ограничена, то все элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству , где
Определение 3. Последовательность называется неограниченной, если для любого положительного числа А найдется элемент этой последовательности, удовлетворяющий неравенству .
Примеры:
1)Последовательность -1, -4, -9, …,- ,… - ограничена сверху и не ограничена снизу. Верхняя грань – число больше или равно -1.
2)Последовательность 1, ½,1/3,…,1/n, … - ограничена.
3)Последовательность 1, 2, 1, 3, ….,n, 1, (n+1), … - не ограничена.

3.Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
Введем определения бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей.

Слайд 8

Определение 1. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного

числа А можно указать номер N такой, что для все элементы удовлетворяют неравенству
Замечание 1
Любая бесконечно большая последовательность является неограниченной.
Замечание 2
Неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой.
Пример:
Неограниченная последовательность 1,2,1,3,…,n,… не является бесконечно большой, поскольку при А>1 неравенство не имеет места для всех элементов с нечетными номерами.
Определение 2. Последовательность называется бесконечно малой, если для можно указать номер N такой, что при все элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству .
Рассмотрим пример:

,

Последовательность
При |q|>1 – бесконечно большая;
При |q|<1 – бесконечно малая.
Докажем первое утверждение
Если |q|>1, то
.
Используя формулу бинома Ньютона, получаем
элементы. Отсюда
.
Фиксируем
и выбираем номер N столь большим, чтобы имело место неравенство
. Из этого неравенства и неравенства (1) следует неравенство
. Так как,
при
. Тем самым доказано, что при |q|>1

Слайд 9

рассматриваемая последовательность является бесконечно большой.
Второе утверждение доказывается аналогично,

применяя бином Ньютона и определение бесконечно малой последовательности.
Свойства бесконечно малых последовательностей
Теорема 1
Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.
Доказательство
Пусть - бесконечно малые последовательности.
Докажем, что - бесконечно малая последовательность

Пусть
- произвольное число.
- номер, начиная с которого
- номер, начиная с которого
Так как
, то, обозначая
, получаем, что,
начиная с некоторого номера N выполняется неравенство
. Это означает, что
- бесконечно малая.
последовательность
Теорема 2
Разность двух бесконечно малых последовательностей есть последовательность бесконечно малая.

Слайд 10

Доказательство аналогичное, только, вместо
берем
Следствие Алгебраическая сумма любого конечного

числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Теорема 3
Бесконечно малая последовательность ограничена.
Доказательство
Пусть
- бесконечно малая последовательность. Пусть
- произвольное
число.
Пусть N – номер, начиная с которого
. Обозначим через
Очевидно, что
для
ограниченность последовательности.
.
, что означает
Теорема 4
Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность представляет собой бесконечно малую последовательность.
Доказательство
Пусть - бесконечно малая последовательность;
Пусть - ограниченная последовательность.
Так как
- ограниченная последовательность, то
, что
.
Возьмем
- произвольное число. Так как
последовательность, то для положительного числа
можно указать N такой, что при
выполняется
- бесконечно малая
неравенство
.
Тогда при

.

Слайд 11

Поэтому последовательность - бесконечно малая.
Следствие
Произведение любого конечного числа бесконечно малых

последовательностей представляет собой бесконечно малую последовательность.
Замечание
Частное двух бесконечно малых последовательностей может быть последовательностью любого типа и даже может не иметь смысла.
Например
бесконечно большая последовательность
бесконечно малая последовательность
Если бесконечно много элементов последовательности
равны 0, то последовательность
Теорема 5
Если все элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу с, то с=0.
Доказательство
не имеет смысла.

Слайд 12

Пусть
, положим
. Начиная с номера N, соответствующему этому

выполняется неравенство
. Так как
, а
, то
-
противоречие.
Теорема 6
Если - бесконечно большая последовательность, то, начиная с некоторого
номера n определена последовательность , которая является бесконечно малой
последовательностью. Если все элементы бесконечно малой последовательности
не равны 0, то последовательность - бесконечно большая.
Доказательство
Отметим, что у бесконечно большой последовательности лишь конечное число элементов может быть равно 0. Из определения бесконечно большой последовательности вытекает, что для данного A>0, существует N, начиная с которого

Это означает, что при
все элементы
,
.
тогда последовательность
имеет смысл, если ее элементы рассматривать,
начиная с номера
. Докажем теперь, что
бесконечно
малая последовательность.

Слайд 13

Пусть - произвольное число. Для числа , такой, что при

выполняется неравенство . Поэтому, начиная с указанного номера N. Будет
выполняться неравенство , то есть доказано, что последовательность
- бесконечно малая.
Доказательство второй части теоремы проводится аналогично.
Сходящиеся последовательности и их основные свойства
Определение
Последовательность называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность является бесконечно малой. При этом число а называется пределом последовательности . В соответствии с эти определением всякая бесконечно малая последовательность сходится и имеет своим пределом число 0.
Другое определение
Последовательность
называется сходящейся, если существует такое число а,
что
можно указать номер
, такой, что при
все
удовлетворяют
неравенству
(1). Число а – предел последовательности.
Символическая запись
или
при
.

Последовательности. Основные понятия и определения. Действительные числа. (Лекция 1)

Содержание

2.4 Для любого числа существует число называемое ему обратным и обозначаемое

Определение. Множество элементов, обладающих свойствами 1-5, содержащее более одного элемента, называется

Расширенная числовая прямая. Окрестности. Геометрически множество действительных чисел изображается направленной прямой,

Множество - полуинтервал;Все они – промежутки расширенной числовой прямой.a,b –

называются числовой последовательностью. Обозначение последовательности Элемент или член последовательности . Например,

Определение 2. Последовательность называется ограниченной с обеих сторон или просто

Определение 1. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного

рассматриваемая последовательность является бесконечно большой. Второе утверждение доказывается аналогично,

Доказательство аналогичное, только, вместо берем Следствие Алгебраическая сумма любого конечного

Поэтому последовательность - бесконечно малая.Следствие Произведение любого конечного числа бесконечно малых

Пусть , положим . Начиная с номера N, соответствующему этому