Построение циркулем и линейкой

В геометрии специально выделяют задачи на построение, которые решаются только

Условные обозначения

∠ - знак угла

окр(О;г) - окружность с центром в точке

Задача 1

На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному

Дано:

Луч

Задача 2

Отложить от данного луча угол, равный данному

Дано:

луч ОМ

О

М

∠А

А

Построить:

Построение:

1.

Докажем, что отложенный от данного луча угол, равен данному

О

М

А

С

В

Е

К

К1

Доказательство:

ΔAВС=ΔОЕК(по трем сторонам)

Задача 3

Построить биссектрису данного угла

Дано:

∠А

Построить:

Построение:

А

1. окр(А;г); г-любой

Луч AE-
биссектрису ∠А

2. окр(А;г)∩∠А={В;С}

C

B

3.

Докажем, что АЕ – биссектриса данного угла

А

C

B

E

E 1

Е

Доказательство:

ΔAВЕ=ΔАСЕ
( по трем сторонам)

Задача 4

Построить перпендикуляр к данной прямой, проходящий через данную точку, лежащую

Докажем, что прямая, проходящую через данную
точку М перпендикулярна к данной

Задача 5

Дано:

прямая а

а

точка M

Построить:

m:

M∈m; m ⊥a

М

Построение:

1. окр(М;г)

A

A1

2. окр(М;г)∩а={А;А1}

3. окр(А;АМ)

4. окр(А1;A1М)

5. окр(А;АМ)∩окр(А1;А1М)={M;Q}

Q

6.

а

М

A

A1

Q

m

Доказательство:

ΔAМQ=ΔА1MQ
( по трем сторонам)
1) AM=А1M=г
2) AQ=A1Q=г
3) MQ-общая
Следовательно,
∠1=∠2.

Тогда,

Задача 6

Построить середину данного отрезка

Дано:

АВ-отрезок

А

Построить:

О∈АВ; ОА=ОВ

О:

Построение:

1. окр(А ;АВ)

2. окр(В;ВА)

3. окр(А;АВ)∩окр(В;ВА)= {P;Q}

4.

Докажем, что О – середина данного отрезка

А

P

Q

B

О

Доказательство:

ΔAPQ=ΔBPQ
( по трем сторонам)
так как