Поверхности второго порядка

в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

где a, b, c – положительные константы.

Система координат, в которой эллипсоид имеет уравнение (1) называется его канонической системой координат, а уравнение (1) – каноническим уравнением эллипсоида.

различны, то эллипсоид называется трехостным.
Если две из трех полуосей равны, эллипсоид является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения эллипса вокруг одной из своих осей.

сферы принято записывать в виде
x2 + y2 + z2 = r2,
где r – величина полуосей, которая называется радиусом сферы.
С геометрической точки зрения, сфера – геометрическое место точек пространства, равноудаленных (на расстояние r) от некоторой фиксированной точки (называемой центром). В канонической системе координат сферы, центр – начало координат.

которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

где a, b, c – положительные константы.

Система координат, в которой однополостный гиперболоид имеет уравнение (2) называется его канонической системой координат, а уравнение (2) – каноническим уравнением однополостного гиперболоида.

то однополосный гиперболоид является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения гиперболы

вокруг своей мнимой оси.

тоже определяют однополостные гиперболоиды, но они «вытянуты» вдоль оси Oy и Ox соответственно.

Замечание. Уравнения

некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

где a, b, c – положительные константы.

Система координат, в которой двуполостный гиперболоид имеет уравнение (3) называется его канонической системой координат, а уравнение (3) – каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.

то двуполостный гиперболоид является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения гиперболы

вокруг своей действительной оси.

тоже определяют двуполостные гиперболоиды, но они «вытянуты» вдоль оси Oy и Ox соответственно.

Замечание. Уравнения

в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

где a, b, c – положительные константы.

Система координат, в которой конус имеет уравнение (4) называется его канонической системой координат, а уравнение (4) – каноническим уравнением конуса.

называется вершиной конуса.
Если a=b, то конус является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения прямой

вокруг оси Oz .

Замечание. Уравнения

тоже определяют конусы, но они «вытянуты» вдоль оси Oy и Ox соответственно.

в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

где a, b – положительные константы.

Система координат, в которой эллиптический параболоид имеет уравнение (5) называется его канонической системой координат, а уравнение (5) – каноническим уравнением эллиптического параболоида.

параболоида.
Если a=b, то параболоид является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения параболы

вокруг оси Oz.

Эллиптический параболоид это поверхность, которая получается при движении одной параболы вдоль другой (вершина параболы скользит по параболе, оси подвижной и неподвижной параболы параллельны, ветви направлены в одну сторону).

Замечания: 1) Уравнение

тоже определяет эллиптический параболоид, но «развернутый» вниз.

2) Уравнения

определяют эллиптические параболоиды, с осями симметрии Oy и Ox соответственно.

некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

где a, b – положительные константы.

Система координат, в которой гиперболический параболоид имеет уравнение (6) называется его канонической системой координат, а уравнение (6) – каноническим уравнением гиперболического параболоида.

параболоид, но «развернутый» вниз.

2) Уравнения

определяют параболоиды, «вытянутые» вдоль осей Oz и Oy соответственно.

Гиперболический параболоид это поверхность, которая получается при движении одной параболы вдоль другой (вершина параболы скользит по параболе, оси подвижной и неподвижной параболы параллельны, ветви направлены в разные стороны).

образующей), перемещающаяся параллельно самой себе вдоль некоторой кривой (называемой направляющей) .
Цилиндры называют по виду направляющей: круговые, эллиптические, параболические, гиперболические.