Предел функции в точке. Односторонние пределы. Пределы на бесконечности. Непрерывность функции. Точки разрыва функции

1. Предел в точке.

Рассмотрим пример. Построить график функции

1

2

В этом случае пишут:

По-другому:

при

Способы вычисления предела

1. Предел дроби при деление на старшую степень.

Пример.

2. Разложение на множители, когда

Пример.

Односторонние пределы

Пример 1.

Пример 2.

Опр. Функция называется непрерывной в точке если

Все элементарные функции непрерывны на

Опр. Если в точке функция не является непрерывной, то - точка

Пример.

- точка разрыва 1-го рода (конечный разрыв).

Пример.

- точка разрыва 2-ого рода (бесконечный разрыв).

Тема: Производная функции, правила вычисления. Производная сложной функции. Производные высших порядков.

Приращение аргумента и приращение функции

Пусть дана функция Рассмотрим два значения её

называется приращением функции и обозначается

Опр. Производной функции в точке называется

Пример. Найти производную функции

Найдем

Таким образом

Эта производная определена на всей числовой оси, так как при её

Геометрический смысл производной

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с

Функция не имеет производной в точке т.к. график функции в точке

Таблица производных (степени)

Таблица производных (тригонометрия)

Таблица производных (arc-тригонометрия)

Основные правила дифференцирования

Если функции и дифференцируемы в данной точке то в

Если функции и дифференцируемы в данной точке и то в той

1) Найти

Примеры.

2) Найти

Производная сложной функции

Пусть и Тогда есть сложная функция

Теорема

Примеры

1)

2)

Запишем

Производные высших порядков

Пусть функция дифференцируема в некотором интервале.

Тогда её производная является

Аналогично, и т.д.:

Производные порядка выше первого называются производными высшего порядка.

1) Найти производную третьего порядка от функции

Примеры.

2) Найти

Рассмотрим функцию Найдем

Дифференциал функции

Приращение функции можно рассматривать как сумму двух слагаемых:

- линейное относительно

-

При оба слагаемых стремятся к нулю, но второе слагаемое быстрее стремится

Теорема. Если функция имеет в точке дифференциал, то она имеет в

Примеры.

Найти дифференциалы функций

1)

2)

Теорема. Если функция дифференцируема в точке то она в этой точке

Пример.

В точке функция непрерывна, так как

Справа от нуля поэтому

Слева от нуля поэтому