Презентация Модели принятия решений в условиях неопределенности Теория игр

Основные вопросы

1. Основные понятия теории игр.
2. Нижняя и верхняя цена игры.
3.

Основные понятия теории игр

Игрой называется математическая модель конфликтной ситуации. Стороны, участвующие

Ходом называется выбор одного из предложенных правилами игры действий и его

Для того, чтобы найти решение игры, следует для каждого игрока выбрать

Математическая модель задачи

Пусть игрок А располагает m стратегиями, которые обозначим А1,

Предположим, что значения aij известны для любой пары стратегий (Аi,Вj). Матрица

Нижняя цена игры

Обозначим через αi наименьший выигрыш игрока А при выборе

Верхняя цена игры

Игрок В заинтересован в том, чтобы уменьшить выигрыш игрока

Игра с седловой точкой

Фактический выигрыш игрока А при разумных действиях партнеров

Седловой точкой называется элемент платежной матрицы, одновременно минимальный в своей строке

Пример

Найти решение игры, заданной платежной матрицей:
(Игрок А имеет 3 стратегии: А1;А2;А3.

Решение:

Определим наименьшие по строкам числа αi и наибольшие по столбцам числа

Поскольку α=β=v=2, то платежная матрица содержит седловую точку, а игра имеет

Решение игры в смешанных стратегиях

Если игра не имеет седловой точки, то

Смешанной стратегией SA игрока А называется применение чистых стратегий А1, А2,…

Аналогично смешанные стратегии игрока В обозначаются:
или SВ=( q1 q2 … qj

Если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш

Сведение решения игры к задаче линейного программирования

Рассмотрим игру, заданную платежной матрицей:
Если

Предположим, что игра не имеет седловой точки.
Найдем ее решение в смешанных

Определим математическое ожидание выигрыша игрока А в случае, если его соперник

Поэтому выполняются следующие соотношения:
причем Σ pi = 1.
Аналогично, для игрока

Игры с природой

В некоторых случаях успех экономической деятельности зависит не от

Известен выигрыш aij игрока А при каждой паре стратегий игрока и

Игрок А в играх с "природой" старается действовать осмотрительно, используя стратегию,

Различают игры с "природой" в условиях определенности и игры с "природой"

Риском игрока А при использовании стратегии Аi при состоянии "природы" Pj

Критерий Бейеса-Лапласа

При известном распределении вероятностей различных состояний природы Р =( p1,

Критерий Лапласа

Если ни одно из состояний "природы" нельзя предпочесть другим, выдвигают

Максиминный критерий Вальда

Он основан на выборе стратегии игрока А, позволяющей гарантировать

Критерий минимального риска Сэвиджа

Рекомендует выбирать стратегию, при которой величина риска принимает

Критерий Гурвица

По этому критерию выбирается максимум линейной комбинации максимальных или минимальных

Задача

Возможно строительство четырех типов электростанций: тепловых (стратегия А1), приплотинных (А2), бесшлюзовых

Состояния природы обозначим через Р1, Р2, Р3 и Р4. Экономическая эффективность

а) на основе критерия Бейеса - Лапласа при заданном распределении вероятности

Решение:

а) Определим математические ожидания выигрыша игрока А при выборе им стратегии

б) Если предположить, что все состояния природы равновероятны, то p1= p2=

в) Согласно критерию Вальда
VW= mах min aij. = mах {2,2,3,1}=3

Согласно критерию Сэвиджа определяем:
VS=min mах r ij = min{8,6,5,7}= 5.
В