Игры с «природой»

Август 29, 2022

Главная
Математика
Игры с «природой»

Содержание

2. Игры с природой В некоторых случаях успех экономической деятельности зависит не от сознательно противодействующего конкурента, а
3. Известен выигрыш (доход) aij игрока А при каждой паре стратегий игрока и «среды», т.е. известна платежная
4. Игрок А в играх с "природой" старается действовать осмотрительно, используя стратегию, позволяющую получить наибольший выигрыш (наименьший
5. Различают игры с "природой" в условиях определенности и игры с "природой" в условиях неопределенности. В первом
6. Риском игрока А при использовании стратегии Аi при состоянии "природы" Pj называется разность между выигрышем, который
7. Критерий Бейеса-Лапласа При известном распределении вероятностей различных состояний природы Р =( p1, p2, …, pn,), где
8. Критерий Лапласа Если ни одно из состояний "природы" нельзя предпочесть другим, выдвигают гипотезу о том, что
9. Максиминный критерий Вальда Он основан на выборе стратегии игрока А, позволяющей гарантировать ему получение нижней цены
10. Критерий минимального риска Сэвиджа Рекомендует выбирать стратегию, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой
11. Критерий Гурвица По этому критерию выбирается максимум линейной комбинации максимальных или минимальных выигрышей. VH = mах
12. Задача Возможно строительство четырех типов электростанций: тепловых (стратегия А1), приплотинных (А2), бесшлюзовых (А3), шлюзовых (А4). Эффективность
13. Состояния природы обозначим через Р1, Р2, Р3 и Р4. Экономическая эффективность строительства отдельных видов электростанций изменяется
14. а) на основе критерия Бейеса - Лапласа при заданном распределении вероятности состояний природы Р = (1/7,
15. Решение: а) Определим математические ожидания выигрыша игрока А при выборе им стратегии Аi: А1⇒М1= 5·1/7 +
16. б) Если предположить, что все состояния природы равновероятны, то p1= p2= p3= =p4=1/4. Определим математические ожидания
17. в) Согласно критерию Вальда VW= mах min aij. = mах {2,2,3,1}=3 i j Следовательно максиминная стратегия
18. Согласно критерию Сэвиджа определяем: VS=min mах r ij = min{8,6,5,7}= 5. В соответствии с этим критерием
20. Скачать презентацию

Слайд 2

Игры с природой
В некоторых случаях успех экономической деятельности зависит не от

сознательно противодействующего конкурента, а от объективной действительности, которую принято называть «природой» или «средой».
Пусть игрок А располагает m стратегиями, которые обозначим А1, А2, … , Аm, а относительно «среды» известно, что она может принимать n различных состояний, обозначим их Р1, Р2, … Рn.

Слайд 3

Известен выигрыш (доход) aij игрока А при каждой паре стратегий игрока

и «среды», т.е. известна платежная матрица:

Слайд 4

Игрок А в играх с "природой" старается действовать осмотрительно, используя стратегию,

позволяющую получить наибольший выигрыш (наименьший проигрыш).
"Природа" (игрок Р) действует случайно, возможные стратегии определяются как ее состояние (погода, спрос на определенную продукцию, сочетание производственных факторов).

Слайд 5

Различают игры с "природой" в условиях определенности и игры с "природой"

в условиях неопределенности.
В первом случае задано распределение вероятностей состояний природы, во втором - оно неизвестно. В этом случае приходится принимать решение в условиях риска.

Слайд 6

Риском игрока А при использовании стратегии Аi при состоянии "природы" Pj

называется разность между выигрышем, который он получил бы, если бы знал Pj и выигрышем, который он получит в обычных условиях, применяя стратегию Аi:
rij = βj - αij, где βj = mах {αij }.
i
Рассмотрим критерии, используемые при решении игр с природой.

Слайд 7

Критерий Бейеса-Лапласа
При известном распределении вероятностей различных состояний природы Р =( p1,

p2, …, pn,), где p1+ p2+…+ pn=1, критерием принятия решений является максимум математического ожидания выигрыша, т.е.
VB-L = mах ∑ aij pj, где i = 1,2, …, m.
i j

Слайд 8

Критерий Лапласа
Если ни одно из состояний "природы" нельзя предпочесть другим, выдвигают

гипотезу о том, что все они равновероятны:
p1= p2=…=pn= 1/n.
Тогда VL = mах ∑ aij ·1/n . i j

Слайд 9

Максиминный критерий Вальда
Он основан на выборе стратегии игрока А, позволяющей гарантировать

ему получение нижней цены игры:
VW= mах min aij.
i j

Слайд 10

Критерий минимального риска Сэвиджа
Рекомендует выбирать стратегию, при которой величина риска принимает

наименьшее значение в самой неблагоприятной ситуации, т.е.
VS= min mах rij.
i j
Критерии Вальда и Сэвиджа основаны на пессимистической оценке обстановки. В отличие от них следующий критерий использует как пессимистический, так и оптимистический подход к ситуации.

Слайд 11

Критерий Гурвица
По этому критерию выбирается максимум линейной комбинации максимальных или минимальных

выигрышей.
VH = mах {λ min aij +(1-λ) mах aij }.
i j j
Если λ=1, критерий Гурвица превращается в пессимистический критерий Вальда. При λ=0 - в критерий крайнего оптимизма, рассчитанный на наилучшее стечение обстоятельств. Обычно λ принимают в пределах от 0,5 до 0,7.

Слайд 12

Задача
Возможно строительство четырех типов электростанций: тепловых (стратегия А1), приплотинных (А2), бесшлюзовых

(А3), шлюзовых (А4). Эффективность каждого из типов зависит от различных факторов: режима рек, стоимости топлива и его перевозки и т.п.
Предположим, что выделено четыре различных состояния, каждое из которых означает определенное сочетание факторов, влияющих на эффективность энергетических объектов.

Слайд 13

Состояния природы обозначим через Р1, Р2, Р3 и Р4. Экономическая эффективность

строительства отдельных видов электростанций изменяется в зависимости от состояний природы и задана матрицей:
Проанализировать ситуацию и выбрать оптимальную стратегию:

Слайд 14

а) на основе критерия Бейеса - Лапласа при заданном распределении вероятности

состояний природы Р = (1/7, 2/7, 3/7, 1/7);
б) на основе критерия Лапласа в предположении, что все состояния природы равновероятны;
в) используя максиминный критерий Вальда;
г) на базе критерия минимального риска Сэвиджа;
д) на основе критерия Гурвица при λ = 0,6.

Слайд 15

Решение:
а) Определим математические ожидания выигрыша игрока А при выборе им стратегии

Аi:
А1⇒М1= 5·1/7 + 2·2/7+8·3/7+4·1/7 = 37/7≈ 5,29;
А2⇒М2= 2·1/7 + 3·2/7+4·3/7+12·1/7 = 32/7≈ 4,57;
А3⇒М3= 8·1/7 + 5·2/7+3·3/7+10·1/7 = 37/7≈ 5,29;
А4⇒ М4= 1·1/7 + 4·2/7+2·3/7+8·1/7 = 23/7≈ 3,29.
VB-L = mах {5,29; 4,57; 5,29; 3,29} =5,29.
В соответствии с этим по критерию Бейеса-Лапласа наиболее предпочтительными являются стратегии А1 и А3.

Слайд 16

б) Если предположить, что все состояния природы равновероятны, то p1= p2=

p3= =p4=1/4.
Определим математические ожидания выигрыша игрока А при выборе им стратегии Аi:
А1⇒∑ a1j /4 =(5+2+8+4)/4=19/4=4,75;
А2⇒∑ a2j /4=(2+3+4+12)/4=21/4=5,25;
А3⇒∑ a3j /4=(8+5+3+10)/4=26/4=6,5;
А4⇒∑ a4j /4=(1+4+2+8)/4=15/4=3,75.
Поскольку VL = mах {4,75; 5,25; 6,5; 3,75}= 6,5, то по критерию Лапласа оптимальной является стратегия А3.

Слайд 17

в) Согласно критерию Вальда
VW= mах min aij. = mах {2,2,3,1}=3

i j
Следовательно максиминная стратегия игрока А - А3.
г) Построим матрицу рисков.

Слайд 18

Согласно критерию Сэвиджа определяем:
VS=min mах r ij = min{8,6,5,7}= 5.
В

соответствии с этим критерием также наиболее предпочтительна стратегия А3.

Игры с «природой»

Содержание

Игры с природойВ некоторых случаях успех экономической деятельности зависит не от

Известен выигрыш (доход) aij игрока А при каждой паре стратегий игрока

Игрок А в играх с "природой" старается действовать осмотрительно, используя стратегию,

Различают игры с "природой" в условиях определенности и игры с "природой"

Риском игрока А при использовании стратегии Аi при состоянии "природы" Pj

Критерий Бейеса-ЛапласаПри известном распределении вероятностей различных состояний природы Р =( p1,

Критерий ЛапласаЕсли ни одно из состояний "природы" нельзя предпочесть другим, выдвигают

Максиминный критерий ВальдаОн основан на выборе стратегии игрока А, позволяющей гарантировать

Критерий минимального риска СэвиджаРекомендует выбирать стратегию, при которой величина риска принимает

Критерий ГурвицаПо этому критерию выбирается максимум линейной комбинации максимальных или минимальных

ЗадачаВозможно строительство четырех типов электростанций: тепловых (стратегия А1), приплотинных (А2), бесшлюзовых