Прикладная тригонометрия

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Прикладная тригонометрия

Содержание

2. Каждого изучающего математику интересует как и где применяются полученные знания
3. создание дидактических материалов для учителей математики, внедрение которых в учебный процесс в ходе изучения тригонометрии позволит
4. Содержание. Графические представления о превращении "мало интересных" тригонометрических функций в оригинальные кривые Страницы истории Прикладная направленность
5. Слово «тригонометрия» впервые встречается в 1505 году в заглавии книги немецкого теолога и математика Питискуса. Происхождение
6. Тригонометрия зародилась в странах древнего Востока и, будучи тесно связанной с астрономией,сделала первые шаги в своем
7. Греческие астрономы
9. Сам термин косинус появился значительно позднее в работах европейских ученых впервые в конце XVI в.из так
11. Сирийский астроном ал-Баттани (Хв.) вычислил небольшую таблицу котангенсов через 1°
12. Абу-ль-Вафа из Хоросана, живший в Х веке (940-998) , составил аналогичную «таблицу тангенсов».
16. Основоположник аналитической теории тригонометрических функций.
17. В XIX веке продолжил развитие теории тригонометрических функций.
18. В наше время тригонометрия больше не рассматривается как самостоятельная ветвь математики. Важнейшая ее часть-учение о тригонометрических
19. Прикладная направленность тригонометрии
20. Задача на применение винтовой линии .
21. Исследование движения ползуна в кривошипно-шатунном механизме. В начальный момент, когда кривошип занимает положение ОА1, точка В
22. Расчет длины ременной передачи, соединяющей два шкива: ведущий и ведомый. Пусть расстояние между центрами шкивов равно
23. Тригонометрия в артиллерии
24. Определение коэффициента трения. = .(2) . .
25. Зависимость между угловой и линейной скоростями По этой формуле можно находить линейную скорость точки, зная угловую
26. Соединение двух труб
27. Периодические процессы и колебания в окружающем мире
28. Гармонические колебания Одним из простейших видов колебаний является движение по оси проекции точки М, которая равномерно
29. Если мы сначала оттянем гирю на s0 см,а потом толкнем ее со скоростью v0, то она
30. Колебания маятника Чем длиннее маятник, тем медленнее он качается Изменение начального отклонения влияет на амплитуду колебаний
31. Разряд конденсатора
32. у=arcsin(sinx) ;
33. у=m·arcsin(sin k(x-α)). k=2 α=0 m=1; -2 ;0,5
34. Полярные координаты При решении многих задач удобнее пользоваться так называемыми полярными координатами: на плоскости выбирают неподвижную
35. I. r=sin3ϕ ( трилистник ) (рис.1) II.r=1/2+sin3ϕ (рис.2), III. r=1+ sin3ϕ (рис.3), IV. r=3/2+ sin3ϕ (рис.4)
36. Уравнения, найденные немецким математиком-натуралистом Хабенихтом для геометрических форм, встречающихся в мире растений. Например, уравнениям r=4(1+cos3ϕ) и
41. при а=0; 1/2; 1;3/2 При а=0 ( рис.1),при а=1/2 (рис.2), при а=1 (рис.3) лепестки имеют законченный
42. Кривые Лиссажу. Кривые Лиссажу, характеризуемые в общем случае уравнениями: В общем случае кривая располагается внутри прямоугольника
43. Замена уравнений : x=sin3t; y=sin 5t уравнениями: x=sin 3t; y=sin5(t+3) превращает незамкнутую кривую в кривую замкнутую.
44. Математические орнаменты
45. Решение системы неравенств Решение неравенства (y-sinx)(y+sinx) Математические орнаменты
46. Математические орнаменты
47. КРОССВОРД 1. Наука об измерении треугольников 2.Автор работы «Пять книг о треугольниках всех видов» в XVI-XVII
48. КРОССВОРД
50. Скачать презентацию

Слайд 2

Каждого изучающего
математику интересует
как и где применяются
полученные знания

Слайд 3

создание дидактических материалов для учителей математики, внедрение которых в учебный процесс

в ходе изучения тригонометрии позволит ученикам получить наглядную иллюстрацию применения тригонометрии в окружающем нас мире.

Цель проекта :

Слайд 4

Содержание.
Графические представления о превращении "мало интересных" тригонометрических функций в оригинальные кривые
Страницы

истории

Прикладная направленность тригонометрии

Слайд 5

Слово «тригонометрия» впервые встречается в 1505 году в заглавии книги немецкого

теолога и математика Питискуса. Происхождение этого слова греческое τρίγωνον – треугольник, μετρεω – мера. Иными словами, тригонометрия – наука об измерении треугольников. Тригонометрия выросла из человеческой практики, в процессе решения конкретных практических задач в областях астрономии, мореплавания и в составлении географических карт.

Слайд 6

Тригонометрия зародилась в странах древнего Востока и,
будучи тесно связанной с

астрономией,сделала первые
шаги в своем развитии .
Основы этой науки заложены в Древней Греции.

Слайд 7

Греческие астрономы

Слайд 8

Слайд 9

Сам термин косинус появился значительно позднее в работах европейских ученых

впервые в конце XVI в.из так называемого «синуса дополнения», т.е. синуса угла, дополняющего данный угол до 90°. «Синус дополнения» или ( по латыни) sinus complementi стали сокращенно записывать как sinus co или co-sinus.

Слайд 10

Слайд 11

Сирийский астроном ал-Баттани (Хв.) вычислил небольшую таблицу котангенсов через 1°

Слайд 12

Абу-ль-Вафа из Хоросана, живший в Х веке (940-998) , составил аналогичную

«таблицу тангенсов».

Слайд 13

Слайд 14

Слайд 15

Слайд 16

Основоположник аналитической
теории
тригонометрических функций.

Слайд 17

В XIX веке продолжил
развитие теории
тригонометрических
функций.

Слайд 18

В наше время тригонометрия больше не рассматривается как самостоятельная ветвь математики.

Важнейшая ее часть-учение о тригонометрических функциях -является частью более общего, построенного с единой точки зрения учения о функциях, изучаемых в математическом анализе; другая же часть- решение треугольников -рассматривается как глава геометрии.

Слайд 19

Прикладная направленность тригонометрии

Слайд 20

Задача на применение винтовой линии
.

Слайд 21

Исследование движения ползуна в кривошипно-шатунном механизме.
В начальный момент, когда кривошип занимает

положение ОА1, точка В шатуна находится в В1. Если в данный момент кривошип находится в положении ОА, образуя угол α с линией мертвых точек, соответственно чему шатун занимает положение АВ, образуя с той же прямой угол β, то, следовательно, палец В ползуна за время поворота кривошипа на угол α переместился на величину х=В1В. Выразим перемещение х в зависимости от данных величин.
Опустим перпендикуляр АК на ОВ1; тогда :ОВ=ОК+КВ. Из треугольников АОК и АВК имеем: ОК=ОА cosα=rcosα и KB=ABcosβ=lcosβ;следовательно, ОВ=rcosα+lcosβ и x=r+l- rcosα- lcosβ =r(1-cosα)+l(1-cosβ).
Выразим cosβ в зависимости от угла α из треугольников АОК и АВК; найдем
АК=rsinα и AK=lsinβ. Отсюда: rsinα= lsinβ и sinβ=

Кривошипно-шатунный механизм служит для
преобразования равномерного вращательного движения конца кривошипа в неравномерное прямолинейное движение ползуна, и обратно. Аналогично работает двигатель автомобиля.

Слайд 22

Расчет длины ременной передачи,
соединяющей два шкива: ведущий и ведомый.
Пусть расстояние

между центрами шкивов равно d и радиусы их- R и r. Длину ременной передачи разобьем на части АВ, ВС, СD=AB, DE, EF, EA=DF.Определим длину каждой отдельной части.
Из треугольника О1КО имеем: О1К=АВ=

∠AOE=∠BO1G=∠KO1O; обозначим ∠AOE через α и найдем его величину.
Из треугольника О1КО sinα=

Зная sinα, мы сможем по таблицам определить и угол α.

∪AE=∪DF= = ∪AEFD=πR+2 =πR+ ;
∪BG=∪CH= = ; ∪BC=πr- .

Длина всего ремня =2 +πR+ +πR- =

2 +π(R+r)+ (R-r).

Слайд 23

Тригонометрия в артиллерии

Слайд 24

Определение коэффициента трения.
=
.(2)
.
.

Слайд 25

Зависимость между угловой и линейной скоростями
По этой формуле можно находить

линейную скорость точки, зная угловую ее скорость и радиус окружности, по которой движется точка; по линейной скорости точки и радиусу окружности, по которой она движется, можно найти угловую скорость.

Слайд 26

Соединение двух труб

Слайд 27

Периодические процессы и колебания в окружающем мире

Слайд 28

Гармонические колебания
Одним из простейших видов колебаний является движение по оси проекции

точки М, которая равномерно вращается по окружности.
x= R cos(ωt+α).

Уравнение гармонического колебания
имеет вид: y = A sin ( ωt+ α )
График гармонических колебаний называется синусоидой, поэтому в физике и технике сами гармонические колебания часто называют синусоидальными колебаниями.

Слайд 29

Если мы сначала оттянем гирю на s0 см,а потом
толкнем ее

со скоростью v0, то она будет совершать
колебания по более сложному закону:
s=Asin(ωt+α) .

Груз на пружине

Слайд 30

Колебания маятника
Чем длиннее маятник,
тем медленнее он качается
Изменение начального отклонения влияет

на амплитуду колебаний маятника, период при этом не меняется.

Слайд 31

Разряд конденсатора

Слайд 32

у=arcsin(sinx)
;

Слайд 33

у=m·arcsin(sin k(x-α)).
k=2 α=0
m=1; -2 ;0,5

Слайд 34

Полярные координаты
При решении многих задач удобнее пользоваться так называемыми полярными координатами:

на плоскости выбирают неподвижную точку О (полюс) и выходящий из нее луч ОР (полярная ось). Положение точки М в этом случае определяется двумя числами: ее расстоянием r от полюса и углом у = угол РОМ . Числа r (полярный радиус) и ϕ (полярный угол) называются полярными координатами точки М.

Слайд 35

I. r=sin3ϕ ( трилистник ) (рис.1)
II.r=1/2+sin3ϕ (рис.2), III. r=1+ sin3ϕ (рис.3),

IV. r=3/2+ sin3ϕ (рис.4) .
У кривой IV наименьшее значение r=0,5 и лепестки имеют незаконченный вид.(рис.IV в приложении). Таким образом при а >1 лепестки трилистника имеют незаконченный вид.

Кривые, заданные уравнениями: r=a+sin3ϕ
в полярных координатах

Слайд 36

Уравнения, найденные немецким математиком-натуралистом Хабенихтом
для геометрических форм, встречающихся в мире

растений.
Например, уравнениям r=4(1+cos3ϕ) и r=4(1+cos3ϕ)+4sin23ϕ

Слайд 37

Слайд 38

Слайд 39

Слайд 40

Слайд 41

при а=0; 1/2; 1;3/2
При а=0 ( рис.1),при а=1/2 (рис.2),
при

а=1 (рис.3) лепестки
имеют законченный вид,
при а=3/2 будет пять
незаконченных лепестков., (рис.4).

Рассмотрим кривые

Слайд 42

Кривые Лиссажу.
Кривые Лиссажу, характеризуемые в общем случае уравнениями:
В общем случае кривая

располагается внутри прямоугольника
со сторонами 2а и2в. Кривые могут быть замкнутыми и незамкнутыми.
Рассмотрим это на следующих примерах:

Замкнутые кривые.

Слайд 43

Замена уравнений : x=sin3t; y=sin 5t
уравнениями: x=sin 3t; y=sin5(t+3)

превращает незамкнутую кривую в кривую замкнутую.

Слайд 44

Математические орнаменты

Слайд 45

Решение системы неравенств
Решение неравенства
(y-sinx)(y+sinx)<0.
Математические орнаменты

Слайд 46

Математические орнаменты

Слайд 47

КРОССВОРД
1. Наука об измерении треугольников
2.Автор работы
«Пять книг о
треугольниках
всех видов»

в
XVI-XVII в.

3.Греческий
астроном,
основоположник
тригонометрии

4.График гармонических
колебаний

5.Математик, придавший
тригонометрии
современный вид

6. «синус дополнения»

7.Русский ученый
математик, продолживший
развитие тригонометрии
в XIX веке

8.Колебания , задаваемые
уравнением y=Asin(wt+α)

Проверь!

Слайд 48

Прикладная тригонометрия

Содержание

Каждого изучающего математику интересует как и где применяются полученные знания

создание дидактических материалов для учителей математики, внедрение которых в учебный процесс

Содержание.Графические представления о превращении "мало интересных" тригонометрических функций в оригинальные кривыеСтраницы

Слово «тригонометрия» впервые встречается в 1505 году в заглавии книги немецкого

Тригонометрия зародилась в странах древнего Востока и, будучи тесно связанной с

Греческие астрономы

Сам термин косинус появился значительно позднее в работах европейских ученых

Сирийский астроном ал-Баттани (Хв.) вычислил небольшую таблицу котангенсов через 1°

Абу-ль-Вафа из Хоросана, живший в Х веке (940-998) , составил аналогичную

Основоположник аналитической теориитригонометрических функций.

В XIX веке продолжилразвитие теории тригонометрическихфункций.

В наше время тригонометрия больше не рассматривается как самостоятельная ветвь математики.

Прикладная направленность тригонометрии

Задача на применение винтовой линии.

Исследование движения ползуна в кривошипно-шатунном механизме.В начальный момент, когда кривошип занимает

Расчет длины ременной передачи, соединяющей два шкива: ведущий и ведомый.Пусть расстояние

Тригонометрия в артиллерии

Определение коэффициента трения. =.(2). .

Зависимость между угловой и линейной скоростями По этой формуле можно находить

Соединение двух труб

Периодические процессы и колебания в окружающем мире

Гармонические колебанияОдним из простейших видов колебаний является движение по оси проекции

Если мы сначала оттянем гирю на s0 см,а потом толкнем ее

Колебания маятникаЧем длиннее маятник, тем медленнее он качаетсяИзменение начального отклонения влияет

Разряд конденсатора

у=arcsin(sinx);

у=m·arcsin(sin k(x-α)). k=2 α=0 m=1; -2 ;0,5

Полярные координатыПри решении многих задач удобнее пользоваться так называемыми полярными координатами:

I. r=sin3ϕ ( трилистник ) (рис.1)II.r=1/2+sin3ϕ (рис.2), III. r=1+ sin3ϕ (рис.3),

Уравнения, найденные немецким математиком-натуралистом Хабенихтом для геометрических форм, встречающихся в мире

при а=0; 1/2; 1;3/2При а=0 ( рис.1),при а=1/2 (рис.2), при

Кривые Лиссажу.Кривые Лиссажу, характеризуемые в общем случае уравнениями:В общем случае кривая

Замена уравнений : x=sin3t; y=sin 5t уравнениями: x=sin 3t; y=sin5(t+3)

Математические орнаменты

Решение системы неравенствРешение неравенства(y-sinx)(y+sinx)<0. Математические орнаменты

Математические орнаменты

КРОССВОРД1. Наука об измерении треугольников2.Автор работы«Пять книг о треугольниках всех видов»

КРОССВОРД

Похожие презентации

Каждого изучающего
математику интересует
как и где применяются
полученные знания

Содержание.
Графические представления о превращении "мало интересных" тригонометрических функций в оригинальные кривые
Страницы

Тригонометрия зародилась в странах древнего Востока и,
будучи тесно связанной с

Основоположник аналитической
теории
тригонометрических функций.

В XIX веке продолжил
развитие теории
тригонометрических
функций.

Задача на применение винтовой линии
.

Исследование движения ползуна в кривошипно-шатунном механизме.
В начальный момент, когда кривошип занимает

Расчет длины ременной передачи,
соединяющей два шкива: ведущий и ведомый.
Пусть расстояние

Определение коэффициента трения.
=
.(2)
.
.

Зависимость между угловой и линейной скоростями
По этой формуле можно находить

Гармонические колебания
Одним из простейших видов колебаний является движение по оси проекции

Если мы сначала оттянем гирю на s0 см,а потом
толкнем ее

Колебания маятника
Чем длиннее маятник,
тем медленнее он качается
Изменение начального отклонения влияет

у=arcsin(sinx)
;

у=m·arcsin(sin k(x-α)).
k=2 α=0
m=1; -2 ;0,5

Полярные координаты
При решении многих задач удобнее пользоваться так называемыми полярными координатами:

I. r=sin3ϕ ( трилистник ) (рис.1)
II.r=1/2+sin3ϕ (рис.2), III. r=1+ sin3ϕ (рис.3),

Уравнения, найденные немецким математиком-натуралистом Хабенихтом
для геометрических форм, встречающихся в мире

при а=0; 1/2; 1;3/2
При а=0 ( рис.1),при а=1/2 (рис.2),
при

Кривые Лиссажу.
Кривые Лиссажу, характеризуемые в общем случае уравнениями:
В общем случае кривая

Замена уравнений : x=sin3t; y=sin 5t
уравнениями: x=sin 3t; y=sin5(t+3)

Решение системы неравенств
Решение неравенства
(y-sinx)(y+sinx)<0.
Математические орнаменты

КРОССВОРД
1. Наука об измерении треугольников
2.Автор работы
«Пять книг о
треугольниках
всех видов»