Применение производных Лекция 6

Содержание

1.Теоремы о дифференцируемых функциях.
2. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
3.Убывание и возрастание функции.
4.

Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях

Теорема Ферма.

a

c

b

Теорема Ролля.

Теорема Лагранжа.

Геометрическая интерпретация

Из теоремы Лагранжа вытекает, что найдется точка, в

Правило Лопиталя

Пусть в некоторой окрестности О точки
функции дифференцируемы

Правило Лопиталя

Если функции являются одновременно бесконечно малыми или бесконечно большими

Примеры.

Правило применимо и в случае, когда
1.
2.

Примеры

Найдем

Пример

Найдем
Прологарифмируем это выражение и найдем предел.
Тогда

Убывающие и возрастающие функции

Теорема (Признак возрастания функции).

Теорема (Признак убывания функции).

Максимум и минимум функции

Экстремум функции

Экстремум функции

Необходимое условие экстремума

Теорема.
Если дифференцируемая функция имеет в точке с

Экстремум функции

Продолжение

Кроме точек, где , экстремумы могут быть в точках, где

Критические точки

Критические точки

Теорема (Достаточное условие экстремума).

Найти экстремумы
Приравняем производную к нулю:
Проверим, меняет ли производная знаки

Выпуклость и вогнутость кривой

Достаточное условие выпуклости

Правило дождя
Легко запомнить, что там, где +, имеем вогнутость, а там,

Точка перегиба

Достаточное условие перегиба кривой

Продолжение

Асимптоты

При исследовании формы кривой приходится исследовать характер изменения функции при

Асимптоты кривой

Пример

Функция у = в точках х = 2,
очевидно,

Наклонные асимптоты

Наклонные асимптоты задают уравнением у = kх + b,

Общая схема исследования функции и построение графика

Общая схема исследования функции и построение графика