Произведение векторов

Август 2, 2022

Главная
Математика
Произведение векторов

Содержание

2. Пример на направляющие косинусы Модуль вектора a равен 5. С осями координат Ox, Oy он образует
3. Пример на деление отрезков Найти длину медианы CD треугольника, заданного вершинами A(-1;2;5), B(3;0;1), C(2;3;4).
4. 6.1. Скалярное произведение векторов Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей векторов на косинус
5. Таблица скалярного умножения в декартовых координатах Запишем векторы a и b в виде суммы компонент: Тогда,
6. Свойства скалярного произведения. Из свойств сложения умножения действительных чисел Из определения скалярного произведения Из свойств скалярной
7. Условие ортогональности (из свойства 7): Или, в двумерном случае: Некоторые из свойств в декартовых координатах (пригодится
8. Проекция вектора на вектор (из свойства 4): Где используется скалярное произведение: нахождение модуля вектора или отрезка;
9. Физические приложения Вычисление работы: ← В чём ошибка? Правильно: или:
10. упорядоченная тройка векторов ⬄ указан порядок следования правая левая 6.2. Векторное произведение
11. Векторное произведение векторов в координатной форме
12. Получим то же самое, пользуясь таблицей векторного умножения: Запишем векторы a и b в виде суммы
13. Что, в свою очередь, сворачивается в сумму миноров: которая является разложением определителя 3-го порядка, т.е.
14. Свойства векторного произведения. Из свойств определителя Из определения векторного произведения и формулы площади Из свойств определителя
15. Некоторые из свойств в декартовых координатах (пригодится в задачках) Условие колинеарности двух векторов (из свойства 5):
16. Вычисление площади параллелограмма и треугольника (из свойства 4): Тогда:
17. Где используется векторное произведение: вычисление площади параллелограмма, треугольника и фигур, которые можно на них разбить; нахождение
18. Пример на нахождение площади треугольника Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах p и q: p =
19. Пример на нахождение площади треугольника в декартовых координатах Вычислить площадь треугольника с вершинами в точках A(1;
20. 6.3. Смешанное произведение векторов Смешанным произведением трех векторов называется векторное произведение первых двух векторов, умноженное скалярно
21. Свойства смешанного произведения. Из свойств определителя Из свойств определителя
22. Подробнее… Вычисление объёма параллелепипеда, призмы и пирамиды (свойство 3): Даны некомпланарные векторы b, c, a. Построим
23. Соответственно, для треугольной призмы: и для тетраэдра:
24. Условие компланарности трёх векторов (свойство 4): Пусть даны: a, b, c компланарны, если abc = 0.
25. Где используется смешанное произведение: вычисление объёмов геометрических тел, ограниченных плоскими гранями; решение геометрических задач, связанных с
26. Пример на вычисление объёма фигуры (смешанное произведение) Даны точки: A(2; 1; 3), B(1; 1; 4), C(3;
27. Задача на разложение вектора по базису Даны три вектора a = (2, -1), b = (1,
28. Пример на вычисление скалярного произведения Дано: |a| = 3, |b| = 4, (а) a2; (б) (3a
30. Скачать презентацию

Слайд 2

Пример на направляющие косинусы
Модуль вектора a равен 5. С осями координат

Ox, Oy он образует углы
60 и 90 градусов соответственно. Найти его координаты.

Слайд 3

Пример на деление отрезков
Найти длину медианы CD треугольника, заданного вершинами
A(-1;2;5),

B(3;0;1), C(2;3;4).

Слайд 4

6.1. Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению

модулей векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов в координатной форме

Докажем для двумерного случая

Слайд 5

Таблица скалярного умножения в декартовых координатах
Запишем векторы a и b в

виде суммы компонент:

Тогда, используя свойство 3
(будет дальше):

И, используя таблицу, получим:

Слайд 6

Свойства скалярного произведения.
Из свойств сложения умножения
действительных чисел
Из определения скалярного произведения
Из

свойств скалярной проекции

Из определения скалярного произведения
и косинуса 0* и 90*

Слайд 7

Условие ортогональности (из свойства 7):
Или, в двумерном случае:
Некоторые из свойств в

декартовых координатах (пригодится в задачках)

Угол между двумя векторами (из свойства 5):

Модуль вектора (из свойства 6):

Слайд 8

Проекция вектора на вектор (из свойства 4):
Где используется скалярное произведение:
нахождение модуля

вектора или отрезка;
нахождение угла между векторами;
использование условия ортогональности двух векторов;
нахождение проекции вектора на вектор;
различные задачи физического содержания.

Слайд 9

Физические приложения
Вычисление работы:
← В чём ошибка?
Правильно:
или:

Слайд 10

упорядоченная тройка векторов ⬄ указан порядок следования
правая
левая
6.2. Векторное произведение

Слайд 11

Векторное произведение векторов в координатной форме

Слайд 12

Получим то же самое, пользуясь таблицей векторного умножения:
Запишем векторы a и

b в виде суммы компонент:

Тогда, используя свойство 3
(будет дальше):

И, используя таблицу,
получим:

Слайд 13

Что, в свою очередь, сворачивается в сумму миноров:
которая является разложением определителя

3-го порядка, т.е.

Слайд 14

Свойства векторного произведения.
Из свойств определителя
Из определения векторного произведения
и формулы площади
Из

свойств определителя

Из 5.

Слайд 15

Некоторые из свойств в декартовых координатах (пригодится в задачках)
Условие колинеарности двух

векторов (из свойства 5):

или

Это означает, что все координаты равны нулю:

т.е. координаты колинеарных векторов пропорциональны.

Слайд 16

Вычисление площади параллелограмма и треугольника (из свойства 4):
Тогда:

Слайд 17

Где используется векторное произведение:
вычисление площади параллелограмма, треугольника и фигур, которые можно

на них разбить;
нахождение модуля вектора или длины отрезка;
различные геометрические задачи, связанные с площадью, например, вычисление высоты параллелограмма или треугольника;
использование условия колинеарности двух векторов;
различные задачи физического содержания, связанные с моментом силы и т.п.

Слайд 18

Пример на нахождение площади треугольника
Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах p

и q:
p = 2a+b, q = 3a - 2b, |a| = 2, |b| = 3, угол (a, b) = π/3.

Слайд 19

Пример на нахождение площади треугольника в декартовых координатах
Вычислить площадь треугольника с

вершинами в точках
A(1; 2; 1), B(-3; 2; 5), C(2; 0; 4).

Слайд 20

6.3. Смешанное произведение векторов
Смешанным произведением трех векторов называется векторное произведение первых

двух векторов, умноженное скалярно на третий вектор

Смешанное произведение векторов в координатной форме:

Слайд 21

Свойства смешанного произведения.
Из свойств определителя
Из свойств определителя

Слайд 22

Подробнее…
Вычисление объёма параллелепипеда, призмы и пирамиды (свойство 3):
Даны некомпланарные векторы b,

c, a. Построим на них параллелепипед:

Из свойств векторного произведения:

Высота параллелепипеда:

С учётом возможной ситуации cosα < 0:

Слайд 23

Соответственно, для треугольной призмы:
и для тетраэдра:

Слайд 24

Условие компланарности трёх векторов (свойство 4):
Пусть даны:
a, b, c компланарны, если

abc = 0. В самом деле:

С другой стороны,
a, b, c - компланарны ⬄ c = xa + yb

Кроме того, это ясно из свойства 3.
Для компланарных векторов:

Слайд 25

Где используется смешанное произведение:
вычисление объёмов геометрических тел, ограниченных плоскими гранями;
решение геометрических

задач, связанных с объёмом геометрических тел, например, нахождение высоты, площади основания, углов между рёбрами;
использование условия компланарности, или линейной зависимости, трёх векторов;
решение различных физических задач.

Слайд 26

Пример на вычисление объёма фигуры (смешанное произведение)
Даны точки: A(2; 1; 3),

B(1; 1; 4), C(3; 5; 2), D(-1; 0; 3). Найти объём тетраэдра с вершинами в этих точках.

Слайд 27

Задача на разложение вектора по базису
Даны три вектора a = (2,

-1), b = (1, 2), c = (4, 3). Найти разложение вектора m = a + b + c по векторам b и c.

Пусть m = xb + yc.

Тогда m = a + b + c = xb + yc, или для координат:
(2+1+4, -1+2+3) = (x*1+y*4, x*2+y*3), откуда после упрощения:
(7, 4) = (x+4y, 2x+3y)

Получаем систему уравнений на x и y:

=> x = -1, y = 2

=> m = -b + 2c

Решение:

Слайд 28

Пример на вычисление скалярного произведения
Дано: |a| = 3, |b| = 4,

<(a, b) = 2π/3. Вычислить:
(а) a2;
(б) (3a - 2b)(a + 2b).

(а) a2 = |a|2 = 9

(б) (3a - 2b)(a + 2b) = 3a2 - 2ba + 6ab - 4b2 = 3a2 + 4ab - 4b2 =
= 3|a|2 + 4|a||b|cos1200 - 4|b|2 = 3*9 + 4*3*4*(-1/2) - 4*16 =
= 27 - 24 - 64 = -61

Решение:

Произведение векторов

Содержание

Пример на направляющие косинусыМодуль вектора a равен 5. С осями координат

Пример на деление отрезковНайти длину медианы CD треугольника, заданного вершинами A(-1;2;5),

6.1. Скалярное произведение векторовСкалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению

Таблица скалярного умножения в декартовых координатахЗапишем векторы a и b в

Свойства скалярного произведения.Из свойств сложения умножения действительных чиселИз определения скалярного произведенияИз

Условие ортогональности (из свойства 7):Или, в двумерном случае:Некоторые из свойств в

Проекция вектора на вектор (из свойства 4):Где используется скалярное произведение:нахождение модуля

Физические приложенияВычисление работы:← В чём ошибка?Правильно:или:

упорядоченная тройка векторов ⬄ указан порядок следованияправаялевая6.2. Векторное произведение

Векторное произведение векторов в координатной форме

Получим то же самое, пользуясь таблицей векторного умножения:Запишем векторы a и

Что, в свою очередь, сворачивается в сумму миноров:которая является разложением определителя

Свойства векторного произведения.Из свойств определителяИз определения векторного произведения и формулы площадиИз

Некоторые из свойств в декартовых координатах (пригодится в задачках)Условие колинеарности двух

Вычисление площади параллелограмма и треугольника (из свойства 4):Тогда:

Где используется векторное произведение:вычисление площади параллелограмма, треугольника и фигур, которые можно

Пример на нахождение площади треугольникаВычислить площадь треугольника, построенного на векторах p

Пример на нахождение площади треугольника в декартовых координатахВычислить площадь треугольника с

6.3. Смешанное произведение векторовСмешанным произведением трех векторов называется векторное произведение первых

Свойства смешанного произведения.Из свойств определителяИз свойств определителя

Подробнее…Вычисление объёма параллелепипеда, призмы и пирамиды (свойство 3):Даны некомпланарные векторы b,

Соответственно, для треугольной призмы:и для тетраэдра:

Условие компланарности трёх векторов (свойство 4):Пусть даны:a, b, c компланарны, если

Где используется смешанное произведение:вычисление объёмов геометрических тел, ограниченных плоскими гранями;решение геометрических

Пример на вычисление объёма фигуры (смешанное произведение)Даны точки: A(2; 1; 3),

Задача на разложение вектора по базисуДаны три вектора a = (2,

Пример на вычисление скалярного произведенияДано: |a| = 3, |b| = 4,

Похожие презентации