Производная функции

Производная функции (2)

Геометрический смысл производной.

M

M

l

Значение производной функции в точке
равно угловому коэффициенту

Производная функции (4)

Связь между существованием производной
и непрерывностью функции.
Теорема.
Доказательство.

Производная функции (5)

Правила дифференцирования.
Пусть
Тогда
1.
2.
3.
4.

Доказательство 1 правила (для суммы).
1 шаг.
2 шаг.
3 шаг.

Производная функции (6)

Таблица производных основных элементарных функций.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.

11.
12.
13.
14.

Производная функции (7)

Вывод формулы 7:
1.
2.
3.

1

Производная функции (8)

Производная сложной функции.
Теорема.
1. y(x) – сложная функция, то есть
2.
3.
Доказательство.
1..Возьмем

Производная функции (9)

Примеры.
1.
2.

Производная функции (10)

Обратная функция.
Определение.
Пусть
Функции
называются взаимно обратными,
если
или

Функция

Производная функции (13)

Производная обратной функции.
Теорема.
1.
2.
3.
Пример.
Вывод формулы 11 :
1.
2.
3.

1.
2.
3.

Производная функции (14)

Функции, заданные параметрически.
Определение 1.
Говорят, что функция задана параметрически,
если задана

Производная функции (16)

Производная функции, заданной параметрически.
Теорема.
Пусть
1.
2.
3.
4.
5.

Производная функции (17)

Производные высших порядков.
Определение 1.
Производная
называется производной
первого порядка функции
Определение 2.
Производная

Производная функции (4)

Связь между существованием производной
и непрерывностью функции.
Теорема.
Доказательство.

Связь между существованием производной
Замечание. Обратное утверждение теоремы неверно, т.е. из непрерывности