Geometrický význam integrálu

kterou integrujeme.

BRVKA

Plocha pod grafem funkce je ohraničena osou x, grafem funkce a svislými přímkami v bodech a, b.

Čím budou obdélníky užší, tím bude určení obsahu plochy pod grafem přesnější.

Pro přibližný výpočet můžeme plochu rozdělit na úzké obdélníky a plochu počítat jako jejich součet.

Pokud se bude šířka obdélníků blížit nule, bude se jejich součet limitně blížit obsahu plochy.

Určitý integrál chápeme jako limitu ze součtu obdélníků při jejich limitně se zužující šířce.

body a, b je roven ploše obrazce omezeného přímkami
x = a, x = b, osou x a křivkou definovanou grafem funkce f(x).

BRVKA

Značení:

Čteme: (Určitý) integrál funkce f(x) od a do b.
a je DOLNÍ MEZ,
b je HORNÍ MEZ integrálu.

Poznámka: Určitý integrál není funkce, ale číslo.

integrál (primitivní funkce) k f(x).
Návod: Zintegrujeme funkci f(x) a odečteme od sebe funkční hodnoty v horní (b) a dolní (a) mezi.

BRVKA

meze:

BRVKA

Úlohu dořešíme s proměnnou t, nedosazujeme zpět za x.
To bychom udělali pouze v případě, že by dopočítání nových mezí bylo extrémně obtížné, a to se nám nestane.

integrálu.

Věta: Pokud je číslo c z intervalu (a,b), platí:

mezi dvěma křivkami danými grafy funkcí f(x) a g(x). Při využití určitého integrálu řešíme podle vztahu:

Pokud se grafy funkcí protínají, nejsou většinou zadány meze, ty dopočítáme jako průsečíky grafů funkcí.
Pro funkce na obrázku by byly meze:
a = –3, b = 1
a počítali bychom integrál:

grafem funkce f(x) = x2 – 6x + 8.

Nejdříve najdeme průsečíky funkce f(x) s osou x.
Určitý integrál počítáme z rozdílu f(x) a y = 0.

Vyšla záporná hodnota, což je tím, že zkoumaná plocha je pod osou x. Velikost plochy je samozřejmě kladná.

y – 8 = 0 a 2x – y = 0.

Křivky nemají předpis ve tvaru funkce, nejprve je tedy upravíme a najdeme jejich průsečíky.

funkcí f(x) je možné určit využitím určitého integrálu:

Příklad: Objem rotačního kužele:

Funkce f(x) je přímá úměrnost y = r/v.x