Прямая в пространстве

пространстве
3. Расстояние от точки до прямой в прост
4. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

точку параллельно заданному вектору

- канонические уравнения

- направляющий вектор

2. Параметрические уравнения

3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

и

вектор

б) Нахождение точки на прямой

- канонические уравнения прямой

пространстве заданы каноническими уравнениями, поэтому
угол между прямыми – это угол между направляющими векторами

2. Проверка условий параллельности и
перпендикулярности прямых

Условие параллельности прямых

Условие перпендикулярности прямых

точки
до прямой

решается так же, как в векторной алгебре находилась высота
параллелограмма, построенного на двух известных векторах.

На векторах
и строим
параллелограмм.

Высоту находим как отношение площади параллелограмма
к длине основания. Площадь параллелограмма – это модуль векторного
произведения векторов, а длина основания – это длина вектора

Высота этого параллелограмма и есть искомое расстояние.

плоскости

2. Условие перпендикулярности прямой и плоскости

и плоскостью

Углом между прямой и плоскостью
считается угол между этой прямой
и ее ортогональной проекцией на
эту плоскость. На рисунке это угол .

Из уравнений прямой и плоскости
известны направляющий вектор
прямой и вектор нормали плоскости.

Косинус угла между этими векторами легко можно найти.
Легко заметить, что углы и в сумме дают 90 градусов, а значит

Поэтому при нахождении угла между прямой и плоскостью находят
не косинус, а синус угла. Кроме того, в формуле стоит модуль, так как
синус угла в данной ситуации может быть только положительным

плоскости нужно
составить систему из уравнений прямой и плоскости

Для того, чтобы решить систему, переводим уравнение прямой в
параметрический вид

Подставляем эти уравнения в уравнение плоскости

Из этого уравнения находим параметр и подставляем его значение
в параметрические уравнения , получим координаты точки пересечения