Ранг матрицы. Собственные числа и собственные векторы

Август 2, 2022

Главная
Математика
Ранг матрицы. Собственные числа и собственные векторы

Содержание

2. План лекции Определение и свойства ранга Методы вычисления ранга Метод элементарных преобразований Метод окаймляющих миноров Теорема
3. Минор k-го порядка Определение. Пусть А - прямоугольная матрица размеров mxn, k - любое целое число,
4. Ранг матрицы. Определение Рангом rgA матрицы А = {aij} называется целое число r , такое, что
5. Инвариантность ранга Введём обозначение для матриц, полученных друг из друга элементарными преобразованиями. Теорема (об инвариантности ранга
6. Базисный минор Минор r-го порядка называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры (r+1)-ro
7. Свойства ранга 1. 2. 3. 4. Если A - невырожденная квадратная матрица, то и , т.е.
8. Методы вычисления ранга матрицы. Метод элементарных преобразований Метод элементарных преобразований основан на том, что элементарные преобразования
9. Следовательно, Произведем последовательные элементарные преобразования строк: Найти ранг матрицы Метод элементарных преобразований. Пример 1
10. Методы вычисления ранга матрицы. Метод окаймляющих миноров Пусть в матрице найден минор M k-го порядка, отличный
11. Следовательно, Найти ранг матрицы Минор - отличен от нуля. Оба минора 4-го порядка, окаймляющие M3 ,
12. СЛУ совместна (т.е. имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов
13. При , СЛУ несовместна Пример Исследовать совместность СЛУ При , СЛУ совместна
14. Теорема о числе решений СЛУ Пусть дана совместная СЛУ от n неизвестных с матрицей коэффициентов ранга
15. Собственные числа и собственные столбцы матрицы. Определение При этом столбец называется собственным вектором (столбцом) матрицы А,
16. Проверить, что 5 – собственное число, – отвечающий ему собственный вектор матрицы Пример Вычислим AX и
17. Характеристическим многочленом квадратной матрицы А порядка n называется следующий многочлен: Характеристический многочлен матрицы. Определение
18. Пусть φА(t) – характеристический многочлен матрицы A . Тогда: 1. - собственное число A ; 2.
19. 2. Найти собственные числа как корни характеристического уравнения . 1. Составить характеристический многочлен 3. Для каждого
20. Найти собственные числа и собственные столбцы матрицы Пример 1 Составим характеристический многочлен Многочлен φ(t) не имеет
21. Найти собственные числа и собственные столбцы матрицы Пример 2 1. Составим характеристический многочлен 2. Найдем корни
22. 3. Найдем собственные столбцы а) для Пример (продолжение)
24. Скачать презентацию

Слайд 2

План лекции
Определение и свойства ранга
Методы вычисления ранга
Метод элементарных преобразований
Метод окаймляющих миноров
Теорема

Кронекера-Капелли
Определение и примеры собственных чисел и столбцов матрицы.
Характеристический многочлен матрицы и его свойства.
Общий план решения задачи о собственных числах и собственных столбцах матрицы.

Слайд 3

Минор k-го порядка
Определение.
Пусть А - прямоугольная матрица размеров mxn, k

- любое целое число, .
Выберем в матрице произвольные k строк и k столбцов. Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов образуют квадратную матрицу порядка k. Определитель полученной матрицы называется минором k-го порядка матрицы А.

Слайд 4

Ранг матрицы. Определение
Рангом rgA матрицы А = {aij} называется целое

число r , такое, что среди миноров r–го порядка матрицы А имеется хотя бы один, отличный от нуля,
а все миноры (r+1)-го порядка равны нулю или миноров порядка (r+1) вообще нет.

Примеры:

Замечание: очевидно, что

Слайд 5

Инвариантность ранга
Введём обозначение для матриц, полученных друг из друга элементарными преобразованиями.

Теорема (об инвариантности ранга матрицы относительно элементарных преобразований):
если , то rgA = rgB

Слайд 6

Базисный минор
Минор r-го порядка называется базисным, если он отличен от нуля,

а все миноры (r+1)-ro порядка равны нулю или их вообще не существует.
Таким образом, определение ранга матрицы можно сформулировать так:
рангом матрицы называется порядок ее базисного минора.
Замечание. В нулевой матрице базисного минора нет. Поэтому ранг нулевой матрицы по определению полагают равным нулю.

Слайд 7

Свойства ранга
1.
2.
3.
4. Если A - невырожденная квадратная матрица, то
и

,
т.е. ранг матрицы не изменяется при умножении ее слева или справа на невырожденную квадратную матрицу.

Слайд 8

Методы вычисления ранга матрицы. Метод элементарных преобразований
Метод элементарных преобразований основан

на том, что элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга. Используя эти преобразования, матрицу можно привести к трапециевидному виду, т.е. такому виду, когда все элементы
при равны нулю и все строки с номерами i > r являются нулевыми.

Тогда rgA = r

Слайд 9

Следовательно,
Произведем последовательные элементарные преобразования строк:
Найти ранг матрицы
Метод элементарных

преобразований. Пример 1

Слайд 10

Методы вычисления ранга матрицы. Метод окаймляющих миноров
Пусть в матрице найден

минор M k-го порядка, отличный от нуля. Рассматривают те миноры (k+1)-го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор M. Если все они равны нулю, то rgA = k.
В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой минор (k+1)-го порядка, и вся процедура повторяется.

Слайд 11

Следовательно,
Найти ранг матрицы
Минор - отличен от нуля.
Оба минора

4-го порядка, окаймляющие M3 , равны нулю:

Метод окаймляющих миноров. Пример 2

Слайд 12

СЛУ совместна (т.е. имеет хотя бы одно решение) тогда и только

тогда, когда ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы системы:

Теорема Кронекера-Капелли

Слайд 13

При , СЛУ несовместна
Пример
Исследовать совместность СЛУ
При , СЛУ совместна

Слайд 14

Теорема о числе решений СЛУ
Пусть дана совместная СЛУ от n

неизвестных с матрицей коэффициентов ранга r .
Тогда:
1. если r = n , то система имеет единственное решение;
2. если r < n , то система имеет бесконечно много решений, причем (n – r) неизвестным можно присвоить произвольные значения, а остальные r неизвестных выражаются через них единственным образом.

Слайд 15

Собственные числа и собственные столбцы матрицы. Определение
При этом столбец называется

собственным вектором (столбцом) матрицы А, соответствующим собственному числу .

Собственным числом (значением) квадратной матрицы А порядка n называется такое число
, для которого выполняется следующее условие:

Слайд 16

Проверить, что 5 – собственное число, –
отвечающий ему собственный вектор

матрицы

Пример

Вычислим AX и 5X :

Слайд 17

Характеристическим многочленом квадратной матрицы А порядка n называется следующий многочлен:
Характеристический

многочлен матрицы. Определение

Слайд 18

Пусть φА(t) – характеристический многочлен матрицы A . Тогда:
1. -

собственное число A ;
2. - собственный вектор A, соответству-ющий , X – решение однородной СЛУ

Следствие.
У матрицы размера nxn не может быть более n различных собственных чисел.

Теорема

Слайд 19

2. Найти собственные числа как корни характеристического уравнения .
1. Составить характеристический

многочлен

3. Для каждого собственного числа ti определить собственный вектор Xi, решив однородную СЛУ

Общий план решения задачи о собственных числах и собственных столбцах матрицы

Слайд 20

Найти собственные числа и
собственные столбцы матрицы
Пример 1
Составим характеристический многочлен
Многочлен

φ(t) не имеет действительных корней.

Матрица A не имеет собственных чисел и собственных
столбцов.

Слайд 21

Найти собственные числа и
собственные столбцы матрицы
Пример 2
1. Составим характеристический

многочлен

2. Найдем корни характеристического уравнения

Слайд 22

Ранг матрицы. Собственные числа и собственные векторы

Содержание

План лекцииОпределение и свойства рангаМетоды вычисления рангаМетод элементарных преобразованийМетод окаймляющих миноровТеорема

Минор k-го порядка Определение. Пусть А - прямоугольная матрица размеров mxn, k

Ранг матрицы. ОпределениеРангом rgA матрицы А = {aij} называется целое

Инвариантность ранга Введём обозначение для матриц, полученных друг из друга элементарными преобразованиями.

Базисный минорМинор r-го порядка называется базисным, если он отличен от нуля,

Свойства ранга1.2.3.4. Если A - невырожденная квадратная матрица, то и

Методы вычисления ранга матрицы. Метод элементарных преобразований Метод элементарных преобразований основан

Следовательно, Произведем последовательные элементарные преобразования строк:Найти ранг матрицы Метод элементарных

Методы вычисления ранга матрицы. Метод окаймляющих миноров Пусть в матрице найден

Следовательно, Найти ранг матрицыМинор - отличен от нуля. Оба минора

СЛУ совместна (т.е. имеет хотя бы одно решение) тогда и только

При , СЛУ несовместна ПримерИсследовать совместность СЛУПри , СЛУ совместна

Теорема о числе решений СЛУПусть дана совместная СЛУ от n

Собственные числа и собственные столбцы матрицы. Определение При этом столбец называется

Проверить, что 5 – собственное число, – отвечающий ему собственный вектор

Характеристическим многочленом квадратной матрицы А порядка n называется следующий многочлен: Характеристический

Пусть φА(t) – характеристический многочлен матрицы A . Тогда: 1. -

2. Найти собственные числа как корни характеристического уравнения .1. Составить характеристический

Найти собственные числа и собственные столбцы матрицы Пример 1Составим характеристический многочленМногочлен

Найти собственные числа и собственные столбцы матрицы Пример 21. Составим характеристический

3. Найдем собственные столбцы а) для Пример (продолжение)

Похожие презентации