Разработка, исследование и применение методов и алгоритмов приближенного решения типовых математических задач. Лекция 1

Источники неустранимой погрешности:
Погрешность задачи (математическая модель),
Погрешность начальная (исходные данные, наличие физических констант).
Источники устранимой погрешности:
Погрешность метода (остаточная погрешность),
Погрешность округления (конечность разрядной сетки),
Погрешность действий (+, -, *, /).

от точного и заменяющее последнее в вычислениях. Приближенное число будем обозначать ‘a’, точное число буквой ‘A’.
Определение 2. Погрешностью приближенного числа ‘а’ (∆a) называют разность А-а. То есть ∆a= А-а
Определение 3. Абсолютной погрешностью числа ‘а’ называют модуль погрешности, то есть ∆= |А-а|.
Определение 4. Предельной абсолютной погрешностью приближенного числа называют любое число ∆а не меньшее ее абсолютной погрешности (∆а ≥ ∆).
∆= |А-а|≤ ∆а
/* Стремятся выбрать его как можно меньшим в сложившихся условиях. */

a + ∆а
Пример. Определим предельную погрешность числа 3.14, заменяющего число π , если известно, что 3.14 < π < 3.15.
Так как число π может быть любой точкой из интервала (3.14, 3.15), длина которого 0.01, то погрешность числа 3.14 может быть любой величиной из интервала (0.0, 0.01). В силу определения, предельная абсолютная погрешность должна быть не меньше любого из этих чисел, а тогда получаем ∆а = 0.01.
Если сложившиеся условия немного поменять 3.14 < π < 3.142 , то можно получить лучшую оценку абсолютной погрешности, а именно: ∆а = 0.002.

погрешности к модулю точного значение, т. е. δ = ∆ / |A|.

Следовательно,

Таким образом, за предельную абсолютную погрешность числа a можно принять

Так как на практике А≈а, то часто пользуются формулой:

Тогда границы точного числа:

Определение 6. Предельной относительной погрешностью δа приближенного числа считают любое число, не меньшее относительной погрешности δ.

Соотношения, вытекающие из определений.

a. Тогда можно записать
δ= ∆/А ≤ ∆а /( a - ∆а ). Отсюда следует, что, зная предельную абсолютную погрешность ∆а, можно определить предельную относительную погрешность как
δа = ∆а / (а - ∆а)
Аналогично получаем
2) ∆ = А*δ ≤ (а + ∆)δа ? ∆ ≤ a* δа + ∆ * δа Отсюда получаем, ∆(1- δа) ≤ a* δа далее ∆ ≤ a* δа /(1 - δа). Значит, зная предельную относительную погрешность δа можно получить предельную абсолютную погрешность
∆а = a* δа /(1 - δа).
Упрощенный вариант полученных формул. Если принять, что ∆а << a, δа <<1, тогда δа = ∆а / а, ∆а = а* δа .

счисления можно представить в виде
а = αm10m + αm-110m-1 + αm-210m-2 + … + αm-n+110m-n+1 + … ,
где αm ≠ 0.
Определение 7. Значащей цифрой числа называют любую цифру в ее записи, отличную от нуля, и ноль, если он стоит между ненулевыми цифрами, или служит для обозначение сохраненных разрядов.

Примеры.

- не меньше трёх значащих цифр

- три значащие цифры

- пять значащих цифр