Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (задача Коши)

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (задача Коши)

Содержание

2. Классификация дифференциальных уравнений обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие одну независимую переменную и производные по ней; дифференциальные уравнения
3. Примеры дифференциальных уравнений уравнение свободных колебаний уравнение вынужденных колебаний уравнение Лапласа одномерное волновое уравнение уравнение теплопроводности
4. Типы задач задача Коши краевая задача Чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение, необходимо знать значения зависимой переменной
5. Решение ОДУ в MathCAD Given :=Odesolve( , ,[ ])
6. Пример Решить задачу Коши для дифференциального уравнения Решение ДУ в MathCAD
7. Использование функции rkfixed
8. Численные методы решения задачи Коши Две группы методов: одношаговые методы; методы прогноза и коррекции (многошаговые методы).
9. Численные методы решения задачи Коши Одношаговые методы: метод Эйлера; модифицированный метод Эйлера; метод Рунге-Кутты. Методы прогноза
10. Погрешности Источники погрешностей: погрешность округления; погрешность усечения; погрешность распространения. Погрешность распространения – результат накопления погрешностей, появившихся
11. Метод Эйлера Формула Эйлера рекуррентное соотношение
12. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ Метод Эйлера
13. Программирование метода Эйлера double f(double x, double y) { return 2*x*x + 2*y; }
14. Программирование метода Эйлера void rdy_Eiler(double *x, double *y, double b, int n) { int i; double
15. Программирование метода Эйлера void __fastcall TForm1::Button1Click(TObject *Sender) { double *x, *y; int i, n = 10;
16. Модифицированный метод Эйлера Ошибка
17. Модифицированный метод Эйлера void rdy_MEiler(double *x, double *y, double b, int n) { int i; double
18. Метод Рунге-Кутты Ошибка
19. Результаты расчетов
20. Общая характеристика одношаговых методов чтобы получить информацию в новой точке, надо иметь данные лишь в одной
21. Методы прогноза и коррекции Для этого применяются две формулы: формула прогноза; формула коррекции. В этих методах
22. Метод Милна Этап прогноза (формула Милна): Этап коррекции (формула Симпсона): Методы прогноза и коррекции не обладают
23. Метод Милна void rdy_Miln(double *x, double *y, double b, int n) { int i; double h
24. Метод Милна while (1) { y1 = y[i-1] + h/3*(dy1 + 4*dy[i] + dy[i-1]); dy2 =
25. Методы Рунге–Кутты для системы дифференциальных уравнений Начальные условия
26. Методы Рунге–Кутты для системы дифференциальных уравнений
27. Методы Рунге–Кутты для системы дифференциальных уравнений
28. Методы Рунге–Кутты для системы дифференциальных уравнений
29. Задание Написать программу решения обыкновенного дифференциального уравнения с использованием метода Эйлера (Delphi) с построением графика. Написать
31. Скачать презентацию

Слайд 2

Классификация дифференциальных уравнений
обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие одну независимую переменную и производные

по ней;
дифференциальные уравнения в частных производных, содержащие несколько независимых переменных и производные по ним.

В зависимости от числа независимых переменных и, следовательно, типа входящих в них производных:

Слайд 3

Примеры дифференциальных уравнений
уравнение
свободных колебаний
уравнение
вынужденных колебаний
уравнение Лапласа
одномерное
волновое уравнение
уравнение

теплопроводности

Слайд 4

Типы задач
задача Коши
краевая задача
Чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение, необходимо знать значения

зависимой переменной и (или) ее производных при некоторых значениях независимой переменной.

Задача Коши (задача с начальными условиями) –

дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной

Краевая задача – дополнительные условия задаются при двух или более значениях независимой переменной.

Решение ОДУ

Слайд 5

Решение ОДУ в MathCAD
Given
<дифференциальное уравнение>
<начальные или гран. условия>
<имя

функции>:=Odesolve(,,[])

Слайд 6

Пример
Решить задачу Коши для дифференциального уравнения
Решение ДУ в MathCAD

Слайд 7

Использование функции rkfixed

Слайд 8

Численные методы решения задачи Коши
Две группы методов:
одношаговые методы;
методы прогноза и коррекции

(многошаговые методы).

Слайд 9

Численные методы решения задачи Коши
Одношаговые методы:
метод Эйлера;
модифицированный метод Эйлера;
метод Рунге-Кутты.
Методы прогноза

и коррекции:
метод Милна;
метод Адамса–Башфорта;
метод Хемминга.

Слайд 10

Погрешности
Источники погрешностей:
погрешность округления;
погрешность усечения;
погрешность распространения.
Погрешность распространения – результат накопления погрешностей, появившихся

на предыдущих этапах счета.

Указанные три источника погрешностей являются причиной наблюдаемых ошибок двух типов:
локальная ошибка – сумма погрешностей, вносимых в вычислительный процесс на каждом шаге вычислений;
глобальная ошибка – суммарная погрешность, накопившаяся с момента начала вычислений.

Слайд 11

Метод Эйлера
Формула Эйлера
рекуррентное соотношение

Слайд 12

Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ
Метод Эйлера

Слайд 13

Программирование метода Эйлера
double f(double x, double y)
{
return 2xx + 2*y;
}

Слайд 14

Программирование метода Эйлера
void rdy_Eiler(double x, double y, double b, int n)
{

int i;
double h = (b-x[0])/n;
for (i=0; i {
x[i+1] = x[i] + h;
y[i+1] = y[i] + h*f(x[i], y[i]);
}
}

Слайд 15

$Программирование метода Эйлера void __fastcall TForm1::Button1Click(TObject Sender) { double x, *y;$

Программирование метода Эйлера
void __fastcall TForm1::Button1Click(TObject Sender)
{
double x, *y;
int i,

n = 10;
char s[100];
x = new double[n+1];
y = new double[n+1];
x[0] = 0;
y[0] = 1;
rdy_Eiler(x, y, 1, n);
Memo1->Lines->Clear();
for (i=0; i<=n; i++)
{
sprintf(s, "%4.1f %9.4f", x[i], y[i]);
Memo1->Lines->Add(s);
}
delete[] y;
delete[] x;
}

Слайд 16

Модифицированный метод Эйлера
Ошибка

Слайд 17

Модифицированный метод Эйлера
void rdy_MEiler(double x, double y, double b, int n)
{

int i;
double h = (b-x[0])/n, y1;
for (i=0; i {
x[i+1] = x[i] + h;
y1 = y[i] + h*f(x[i], y[i]);
y[i+1] = y[i]+0.5*h*(f(x[i], y[i])+f(x[i+1], y1));
}
}

Слайд 18

Метод Рунге-Кутты
Ошибка

Слайд 19

Результаты расчетов

Слайд 20

Общая характеристика одношаговых методов
чтобы получить информацию в новой точке, надо иметь

данные лишь в одной предыдущей точке (свойство «самостартования»);
в основе всех одношаговых методов лежит разложение функции в ряд Тейлора;
все одношаговые методы не требуют вычисления производных;
свойство «самостартования» позволяет легко менять величину шага.

Слайд 21

Методы прогноза и коррекции
Для этого применяются две формулы:
формула прогноза;
формула коррекции.
В этих

методах для вычисления положения новой точки используется информация о нескольких ранее полученных точках.

Слайд 22

Метод Милна
Этап прогноза (формула Милна):
Этап коррекции (формула Симпсона):
Методы прогноза и коррекции

не обладают свойством «самостартования»
(в формулах используется информация о нескольких ранее полученных точках).
Перед применением метода прогноза и коррекции необходимо вычислить исходные данные с помощью какого-либо одношагового метода.

Слайд 23

Метод Милна
void rdy_Miln(double x, double y, double b, int n)
{
int

i;
double h = (b-x[0])/n, y1, dy1, dy2;
double *dy;
dy = new double[n+1];
rdy_RKT(x, y, x[0]+3*h, 3);
for (i=0; i<=3; i++)
dy[i] = f(x[i], y[i]);
for (i=3; i {
x[i+1] = x[i] + h;
y1 = y[i-3]+4./3*h*(2*dy[i]-dy[i-1]+2*dy[i-2]);
dy1 = f(x[i+1], y1);

Слайд 24

Метод Милна
while (1)
{
y1 = y[i-1] + h/3*(dy1 +

4*dy[i] + dy[i-1]);
dy2 = f(x[i+1], y1);
if (fabs(dy2-dy1)<1e-3) break;
dy1 = dy2;
}
dy[i+1] = dy2;
y[i+1] = y[i-1]+h/3*(dy[i+1]+4*dy[i]+dy[i-1]);
}
delete[] dy;
}

Слайд 25

Методы Рунге–Кутты для системы дифференциальных уравнений
Начальные условия

Слайд 26

Методы Рунге–Кутты для системы дифференциальных уравнений

Слайд 27

Методы Рунге–Кутты для системы дифференциальных уравнений

Слайд 28

Методы Рунге–Кутты для системы дифференциальных уравнений

Слайд 29

Задание
Написать программу решения обыкновенного дифференциального уравнения с использованием метода Эйлера (Delphi)

с построением графика.
Написать программу решения обыкновенного дифференциального уравнения с использованием модифицированного метода Эйлера (Mathcad) с построением графика.
Написать программу решения обыкновенного дифференциального уравнения с использованием модифицированного метода Эйлера (Delphi) с построением графика.
Написать программу решения обыкновенного дифференциального уравнения с использованием модифицированного метода Эйлера (Mathcad) с построением графика.
Написать программу решения обыкновенного дифференциального уравнения с использованием метода Рунге-Кутты (Delphi) с построением графика.
Написать программу решения обыкновенного дифференциального уравнения с использованием метода Рунге-Кутты (Mathcad) с построением графика.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (задача Коши)

Содержание

Классификация дифференциальных уравненийобыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие одну независимую переменную и производные

Примеры дифференциальных уравненийуравнениесвободных колебаний уравнениевынужденных колебаний уравнение Лапласа одномерноеволновое уравнение уравнение

Типы задачзадача Кошикраевая задачаЧтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение, необходимо знать значения

Решение ОДУ в MathCADGiven <дифференциальное уравнение> <начальные или гран. условия> <имя

ПримерРешить задачу Коши для дифференциального уравненияРешение ДУ в MathCAD

Использование функции rkfixed

Численные методы решения задачи КошиДве группы методов:одношаговые методы;методы прогноза и коррекции

Численные методы решения задачи КошиОдношаговые методы:метод Эйлера;модифицированный метод Эйлера;метод Рунге-Кутты.Методы прогноза

Метод ЭйлераФормула Эйлерарекуррентное соотношение

Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ Метод Эйлера

Программирование метода Эйлераdouble f(double x, double y){ return 2*x*x + 2*y;}

Программирование метода Эйлераvoid rdy_Eiler(double *x, double *y, double b, int n){

Программирование метода Эйлераvoid __fastcall TForm1::Button1Click(TObject *Sender){ double *x, *y; int i,

Модифицированный метод ЭйлераОшибка

Модифицированный метод Эйлераvoid rdy_MEiler(double *x, double *y, double b, int n){

Метод Рунге-КуттыОшибка

Результаты расчетов

Общая характеристика одношаговых методовчтобы получить информацию в новой точке, надо иметь

Методы прогноза и коррекцииДля этого применяются две формулы:формула прогноза;формула коррекции.В этих

Метод МилнаЭтап прогноза (формула Милна):Этап коррекции (формула Симпсона):Методы прогноза и коррекции

Метод Милнаvoid rdy_Miln(double *x, double *y, double b, int n){ int

Метод Милна while (1) { y1 = y[i-1] + h/3*(dy1 +

Методы Рунге–Кутты для системы дифференциальных уравненийНачальные условия

Методы Рунге–Кутты для системы дифференциальных уравнений

Методы Рунге–Кутты для системы дифференциальных уравнений

Методы Рунге–Кутты для системы дифференциальных уравнений

ЗаданиеНаписать программу решения обыкновенного дифференциального уравнения с использованием метода Эйлера (Delphi)

Похожие презентации

Классификация дифференциальных уравнений
обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие одну независимую переменную и производные

Примеры дифференциальных уравнений
уравнение
свободных колебаний
уравнение
вынужденных колебаний
уравнение Лапласа
одномерное
волновое уравнение
уравнение

Типы задач
задача Коши
краевая задача
Чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение, необходимо знать значения

Решение ОДУ в MathCAD
Given
<дифференциальное уравнение>
<начальные или гран. условия>
<имя

Пример
Решить задачу Коши для дифференциального уравнения
Решение ДУ в MathCAD

Численные методы решения задачи Коши
Две группы методов:
одношаговые методы;
методы прогноза и коррекции

Численные методы решения задачи Коши
Одношаговые методы:
метод Эйлера;
модифицированный метод Эйлера;
метод Рунге-Кутты.
Методы прогноза

Метод Эйлера
Формула Эйлера
рекуррентное соотношение

Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ
Метод Эйлера

Программирование метода Эйлера
double f(double x, double y)
{
return 2xx + 2*y;
}

Программирование метода Эйлера
void rdy_Eiler(double x, double y, double b, int n)
{

Программирование метода Эйлера
void __fastcall TForm1::Button1Click(TObject Sender)
{
double x, *y;
int i,

Модифицированный метод Эйлера
Ошибка

Модифицированный метод Эйлера
void rdy_MEiler(double x, double y, double b, int n)
{

Метод Рунге-Кутты
Ошибка

Общая характеристика одношаговых методов
чтобы получить информацию в новой точке, надо иметь

Методы прогноза и коррекции
Для этого применяются две формулы:
формула прогноза;
формула коррекции.
В этих

Метод Милна
Этап прогноза (формула Милна):
Этап коррекции (формула Симпсона):
Методы прогноза и коррекции

Метод Милна
void rdy_Miln(double x, double y, double b, int n)
{
int

Метод Милна
while (1)
{
y1 = y[i-1] + h/3*(dy1 +

Методы Рунге–Кутты для системы дифференциальных уравнений
Начальные условия

Задание
Написать программу решения обыкновенного дифференциального уравнения с использованием метода Эйлера (Delphi)