Ряды с членами произвольного знака

ТЕОРЕМА. (ПРИЗНАК ЛЕЙБНИЦА)

Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине

и предел

Доказательство:

Рассмотрим последовательность частичных сумм четного числа членов при n=2m:

Эта последовательность возрастает,

Поэтому последовательность S2m имеет предел:

В неравенстве (1) переходим к пределу:

Теперь рассмотрим последовательность частичных сумм нечетного числа членов при n=2m+1:

Переходим к

ПРИМЕР.

Исследовать сходимость ряда

Решение:

Проверим выполнение признака Лейбница:

1

Члены ряда убывают по абсолютной величине:

2

Ряд сходится.

СЛЕДСТВИЕ:

Погрешность при приближенном вычислении
суммы сходящегося знакочередующегося ряда,
удовлетворяющего условиям теоремы
Лейбница, по

Доказательство:

По формуле:

Где Sn – сумма первых n членов ряда;
rn –

Этот ряд удовлетворяет всем условиям теоремы Лейбница и его сумма не

2. Знакопеременные ряды

Знакопеременным называется ряд, в котором
каждый член может быть как

ТЕОРЕМА. ( достаточный признак сходимости )

Если ряд, составленный из абсолютных величин

Доказательство:

Пусть

- сумма абсолютных величин членов

ряда со знаком «+»;

Пусть

-

Ряд, состоящий из модулей, по условию сходится, следовательно существует конечный предел:

Ряд называется абсолютно сходящимся,
если сходится как сам ряд, так и

Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов различны.

Абсолютно сходящиеся ряды можно складывать,

ПРИМЕРЫ.

Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:

1

Решение:

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных значений членов данного ряда:

Это гармонический ряд,

1

Члены ряда убывают по абсолютной величине:

2

Ряд условно сходится.

Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:

2

Решение:

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных значений членов данного ряда:

Это обобщенный гармонический