Ряды с положительными членами

ТЕОРЕМА 1. (необходимое и достаточное условие сходимости ряда)

Для того, чтобы ряд

ТЕОРЕМА 2. (признак сравнения)

Пусть даны два ряда с положительными членами

причем

Тогда
Если сходится второй ряд, то сходится и первый;
Если расходится первый

Доказательство:

1

Пусть частичные суммы рядов (1) и (2) равны, соответственно,

По условию

Эта последовательность является также ограниченной, т.к.

Поэтому на основании признака существования предела

Замечание:

Так как сходимость ряда не меняется при
отбрасывании конечного числа членов

Примеры

1

Исследовать сходимость ряда

Решение

Сравним этот ряд c геометрическим рядом

При

- ряд сходится.

Т.к. члены заданного

2

Исследовать сходимость ряда

Решение

Сравним этот ряд c расходящимся гармоническим рядом

Т.к. члены заданного ряда, начиная

Эталонные ряды, используемые для сравнения

1

Геометрический ряд

и расходится при

сходится при

2

Гармонический ряд

- расходится.

3

Обобщенный гармонический ряд

и расходится при

сходится при

ТЕОРЕМА 3. (предельный признак сравнения)

Если

ряды с положительными членами и существует конечный

Доказательство:

Так как

то по определению предела числовой последовательности для любого ε>0 существует

Если ряд

сходится, то ряд

тоже сходится, и в силу признака сравнения

Пример

Исследовать сходимость ряда

Решение:

Сравним этот ряд c гармоническим рядом

поскольку при больших n

Так как

ТЕОРЕМА 4. ( признак Даламбера)

Пусть для ряда

членами существует конечный предел отношения

Доказательство:

По определению предела числовой последовательности для любого ε>0 существует такой номер

Получили, что члены ряда

меньше членов геометрического ряда

который сходится при q<1.

Следовательно, этот

2

Пусть l>1. Выберем ε таким малым, что
число l-ε>1, т.е.

или

Значит члены

Примеры

1

Исследовать сходимость ряда

Решение:

Ряд сходится.

2

Исследовать сходимость ряда

Решение:

Ряд расходится.

ТЕОРЕМА 5. (интегральный признак сходимости)

Пусть дан ряд

положительны и не возрастают, т.е.

Тогда для сходимости ряда необходимо, чтобы сходился несобственный интеграл

Доказательство:

Рассмотрим ряд

Его n-частичной суммой будет

1

Сходимость этого ряда означает, что существует предел

т.к.

Т.к. функция f(x) – монотонна на любом отрезке [n,n+1]

или

Если ряд

- сходится, то по признаку

сравнения должен сходится и ряд (1).

Пример

Исследовать сходимость ряда

Решение:

Пусть

При x>0 эта функция положительна и не возрастающая.

Если

Т.е. интеграл

Если

ТЕОРЕМА 6. (признак Коши)

Пусть дан ряд

положительны. Если существует предел

члены которого

то

Доказательство:

По определению предела числовой последовательности для любого ε>0 существует такой номер

Выберем ε таким малым, что число q=L+ ε<1, т.е. все члены

Пример

Исследовать сходимость ряда

где