Свойства и способы вычисления двойных интегралов. Двойной интеграл в прямоугольных декартовых и полярных координатах. Лекция 15
Содержание
- 2. 1. Объем цилиндрического тела. Двойной интеграл. Рассмотрим задачу об определении объема цилиндрического тела Определение Цилиндрическим телом
- 3. Объем тела можно представить как сумму или разность объемов цилиндрических тел. Принципы, лежащие в основе определения
- 4. Выберем в каждой частичной области произвольную точку и заменим соответствующее частичное цилиндрическое тело прямым цилиндром с
- 5. Переходя к пределу при , будем требовать, чтобы не только площадь каждой частичной области стремилась к
- 6. Сумма (*) называется интегральной суммой для функции f(x,y) в области D, соответствующей данному разбиению области D
- 7. Теорема существования двойного интеграла Если f(x,y) непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то ее интегральная сумма
- 8. 4. Если во всех точках области D функция то: Следствие Если подынтегральная функция в области интегрирования
- 9. 5. Значение двойного интеграла заключено между произведениями наименьшего (m) и наибольшего (M) значений подынтегральной функции в
- 10. При вычислении (*) опираемся на то, что он выражает объем V цилиндрического тела с основанием D,ограниченного
- 11. Предположим, что область интегрирования D удовлетворяет следующему условию: любая прямая параллельная оси ОХ или оси ОУ
- 12. Область D заключена внутри прямоугольника . A,B,C,E – точки касания. Интервал [a,b] – ортогональная проекция области
- 13. Рассечем рассматриваемое цилиндрическое тело произвольной плоскостью параллельной плоскости OYZ, то есть x=const, где . В сечении
- 14. Тогда после замены S(x) выражением, получим Более удобна форма (***) Меняя роли х и y, то
- 15. Правые части формул (***) и (****) называются повторными (или двухкратными) интегралами – сам процесс расстановки пределов
- 16. Если интегрировать сначала по y, а потом по х, то внутреннее интегрирование производится от линии y=0
- 17. Как видно из рисунка удобнее интегрировать вначале по х, затем по у Если изменить порядок интегрирования,
- 18. Формулы (***) и (****) можно использовать и в случае областей более общего вида. Так (***) и
- 19. Примеры вычисления двойных интегралов 1. Найти двойной интеграл от функции по прямоугольной области D Решение Геометрически
- 20. Вычислим повторный интеграл сначала по у, затем по х Аналогичный результат получаем, интегрируя сначала по х,
- 21. Решение А) Интегрируем сначала по у, затем по х B) Интегрируем сначала по х, затем по
- 22. Решение Поверхность, ограничивающая тело сверху имеет уравнение . Область интегрирования D получается в результате пересечения параболы
- 23. Заданное тело – сегмент эллиптического параболоида, расположенного над плоскостью OXY. Параболоид пересекается с плоскостью OXY по
- 24. Замена переменных в двойном интеграле Полярные координаты При вычислении определенных интегралов важную роль играет правило замены
- 25. Есть функциональный определитель Якоби (Якобиан) составленный из частных производных функций (*), то есть Старая область интегрирования
- 26. Двойной интеграл в полярных координатах Применим формулу (**) к преобразованию с помощью полярных координат (обозначения общепринятые)
- 27. Формулу для элемента площади в полярных координатах можно получить из геометрических соображений. Построим в плоскости OXY
- 28. Рассмотрим выделенный четырехугольник. Его площадь Второе слагаемое – бесконечно малая величина более высокого порядка, чем первое
- 29. Замечание Чтобы привести двойной интеграл в полярных координатах к повторному, обычно нет необходимости строить область ,
- 30. Интегрируя сначала по r в пределах его изменения при постоянном , то есть от , а
- 31. В частности, когда , то есть, когда область интегрирования есть круг с центром в полюсе, получаем
- 33. Скачать презентацию