Схема Бернулли

Август 24, 2022

Главная
Математика
Схема Бернулли

Содержание

2. Независимые повторные испытания. Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит
3. Независимые повторные испытания. Примеры: Подбрасываем игральный кубик n раз. Выпадение числа очков от 1 до 6
4. Независимые повторные испытания. Независимые повторные испытания, в каждом из которых возможно появление события А (успех) с
5. Формула Бернулли. Пусть производится n испытаний Бернулли. Вероятность того, что в этих испытаниях событие А произойдет
6. Формула Бернулли. Решение. Обозначим А- расход не превысит норму. По условию n = 7, m =
7. Формула Бернулли Пример. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть одному из них 2
8. Формула Бернулли Пример. Исследование инкубации яиц яичного кросса Беларусь-9 показало, что цыплята выводятся в среднем из
9. Наивероятнейшее число появлений события. Пример. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,8. Найти вероятности
10. Наивероятнейшее число появлений события. Рассматривая многоугольник распределения вероятностей мы видим, что есть такие значения m (в
11. Наивероятнейшее число появлений события. Число m0 наступления события А в n независимых испытаниях называется наивероятнейшим, если
12. Наивероятнейшее число появлений события. Пример. В результате многолетних наблюдений вероятность дождя 21 июля в городе N
13. Приближённые формулы в схеме Бернулли. Локальная теорема Лапласа.
14. Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над
15. Приближённые формулы 1. Локальная формула Муавра-Лапласа (n>10, p>0,1). 2. Формула Пуассона (n>10, p 3. Интегральная формула
16. Локальная формула Муавра- Лапласа (n∙p∙q ≥ 10). . Если вероятность р появления события А в каждом
17. Пользуясь этой таблицей, необходимо иметь в виду свойства функции : 1. Функция является четной, т.е. .
18. npq = 400 ∙ 0,8∙ (1—0,8) = 64 > 10; . По таблице найдем Пример. В
19. Формула Пуассона (λ ≤ 10). Теорема. Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянно
20. Существуют статистико-математические таблицы для распределения Пуассона.
21. Пример. На факультете насчитывается 1825 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно
22. Интегральная теорема Лапласа (n∙p >10) Интегральная теорема Муавра—Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом
23. Функция Ф(х) называется функцией Лапласа. Свойства функции Ф(х): Функция Ф(х) нечетная, т.е. Ф(-х) = - Ф(х).
24. Пример. В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Необходимо найти вероятность того, что
25. Независимые повторные испытания. Схема Таблица для Таблица для φТаблица для φ(Таблица для φ(x) Таблица для Ф(Таблица
27. Скачать презентацию

Слайд 2

Независимые повторные испытания.
Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в

каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми повторными испытаниями.
В разных независимых испытаниях событие А может иметь либо различные вероятности, либо одну и ту же вероятность. Будем далее рассматривать лишь такие независимые испытания, в которых событие А имеет одну и ту же вероятность.

Слайд 3

Независимые повторные испытания.
Примеры:
Подбрасываем игральный кубик n раз. Выпадение числа очков

от 1 до 6 происходит с вероятностью 1/6 в каждом из испытаний;
Приобретаем n лотерейных билетов. Для каждого из лотерейных билетов вероятность выигрыша есть величина постоянная;
Подбрасывается n раз монета. Выпадение орла или решки происходит с вероятностью ½ в каждом испытании.
Пример 1 и примеры 2,3 отличаются друг от друга тем, что в первом примере возможно появление 6-ти событий, а во втором и третьем – появление только 2-х событий: выиграл - не выиграл, орел – решка, т.е. условно можно назвать такие исходы «успех – неуспех». Такие испытания называются испытаниями Бернулли.

Слайд 4

Независимые повторные испытания.
Независимые повторные испытания, в каждом из которых возможно

появление события А (успех) с постоянной вероятностью p или непоявление события А (неуспех) с постоянной вероятностью q=1-p, называются испытаниями Бернулли или схемой Бернулли.

Швейцарский математик Якоб Бернулли (1654-1705).

Слайд 5

Формула Бернулли.
Пусть производится n испытаний Бернулли. Вероятность того, что в этих

испытаниях событие А произойдет ровно m раз можно найти по формуле Бернулли:
n – число испытаний
p – вероятность появления события А в одном испытании
q=1-p - вероятность не появления события А в одном испытании
Рn(m) – вероятность того, что событие А появится ровно m раз в n испытаниях

Слайд 6

Формула Бернулли.
Решение. Обозначим А- расход не превысит норму.
По условию n =

7, m = 4, p = 0.75, q=1-p=0,25
По формуле Бернулли:

Пример. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжении суток не превысит установленной нормы, равна 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшую неделю расход электроэнергии в течении четырех суток не превысит норму.

Ответ: вероятность того, что в ближайшую неделю расход электроэнергии в течении четырех суток не превысит норму равна 0,1969

Слайд 7

Формула Бернулли
Пример. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть

одному из них 2 партии из 4-х или 3 партии из 6-ти?

Решение.
Найдем вероятность выиграть одному из них 2 партии из 4-х:
n=4, m=2, p=1/2, q=1/2. По формуле Бернулли:

2) Найдем вероятность выиграть одному из них 3 партии из 6-ти:
n=6, m=4, p=1/2, q=1/2. По формуле Бернулли:

Сравним полученные результаты: т.к. 3/8 > 5/16, то вероятнее выиграть одному из них 2 партии из 4-х.

Слайд 8

Формула Бернулли
Пример. Исследование инкубации яиц яичного кросса Беларусь-9 показало, что цыплята

выводятся в среднем из 70% заложенных в инкубатор яиц. Из общего количества заложенных в инкубатор яиц случайным образом отобраны и помечены 6. Найти вероятность того, что из помеченных яиц выведутся:
менее трех цыплят P6(m < 3) ;
более трех цыплят P6(m > 3) ;
не менее трех цыплят P6(m ≥ 3) ;
не более трех цыплят P6(m ≤ 3);

(0,07047)

(0,74431)

(0,92953)

(0,25569)

Слайд 9

Наивероятнейшее число появлений события.
Пример. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали

равна 0,8. Найти вероятности возможного числа появления бракованных деталей среди 5 отобранных.
Решение. Вероятность изготовления бракованной детали
Р = 1 - 0,8 = 0,2.
Искомые вероятности находим по формуле Бернулли:
P5(0)=0,32768; P5(3)=0,0512;
P5(1)=0,4096; P5(4)=0,0064;
P5(2)=0,2048; P5(5)=0,00032.
Полученные вероятности изобразим графически точками с координатами (m, Pn(m)). Соединяя эти точки, получим многоугольник, или полигон, распределения вероятностей.

Слайд 10

Наивероятнейшее число появлений события.
Рассматривая многоугольник распределения вероятностей мы видим, что есть

такие значения m (в данном случае, одно - m0=1), обладающие наибольшей вероятностью Рn(m).

0,1

0,2

0,3

0,4

Pn(m)

Слайд 11

Наивероятнейшее число появлений события.
Число m0 наступления события А в n независимых

испытаниях называется наивероятнейшим, если вероятность осуществления этого события Рn(m0) по крайней мере не меньше вероятностей других событий Рn(m) при любом m.
Для нахождения m0 используется двойное неравенство:
n • p - q ≤ m0 ≤ n • p + p

Слайд 12

Наивероятнейшее число появлений события.
Пример. В результате многолетних наблюдений вероятность дождя

21 июля в городе N составляет 0,3. Найти наивероятнейшее число дождливых дней 21 июля на ближайшие 30 лет.
Решение. По условию: p=0.3, q=0.7, n=30.
n∙p - q ≤ m0 ≤ n∙p + p
0.3∙30 – 0.7 ≤ m0 ≤ 0.3∙30 + 0.3
8.3 ≤ m0 ≤ 9.3
m0 = 9
Ответ: наивероятнейшее число дождливых дней 21 июля на ближайшие 30 лет равно 9.
Т.е. вероятнее всего 9 раз за 30 лет 21 июля будет дождливым.

Слайд 13

Приближённые формулы в схеме Бернулли.
Локальная теорема Лапласа.

Слайд 14

Пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, так как

формула требует выполнения действий над громадными числами. Например, если
n = 50, m = 30, р=0,1, то для отыскания вероятности P30(50) надо вычислить выражение
Нельзя ли вычислить интересующую нас вероятность, не прибегая к формуле Бернулли? Оказывается, можно. В этом случае применяются приближённые (асимптотические) формулы, которые позволяют приближенно найти вероятность появления события ровно m раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

Слайд 15

Приближённые формулы
1. Локальная формула Муавра-Лапласа (n>10, p>0,1).
2. Формула Пуассона (n>10,

p<0,1)
3. Интегральная формула Муавра-Лапласа

Слайд 16

Локальная формула Муавра- Лапласа (n∙p∙q ≥ 10). .
Если вероятность р появления

события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Рn(m) того, что событие А появится в n испытаниях ровно m раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n)
где

Слайд 17

Пользуясь этой таблицей, необходимо иметь в виду свойства функции :
1. Функция

является четной, т.е. .
2. Функция — монотонно убывающая при положительных
значениях х, причем при
(Практически можно считать, что уже при х > 5 ).

Слайд 18

npq = 400 ∙ 0,8∙ (1—0,8) = 64 > 10;
.
По

таблице найдем

Пример. В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Найти вероятность того, что из 400 семей 300 имеют холодильники.
Решение. Вероятность того, что семья имеет холодильник, равна
n = 400, m = 300, р = 80/100 = 0,8 (>0,1), q=1-p= = 0,2.

Слайд 19

Формула Пуассона (λ ≤ 10).
Теорема. Если вероятность p наступления события А

в каждом испытании постоянно близка к нулю, число независимых испытаний n достаточно велико, то вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит m раз приближенно равна
где
Формулу Пуассона можно применять при λ ≤ 10.
Существуют статистико-математические таблицы для распределения Пуассона.

Слайд 20

Существуют статистико-математические таблицы для распределения Пуассона.

Слайд 21

Пример. На факультете насчитывается 1825 студентов. Какова вероятность того, что 1

сентября является днем рождения одновременно четырех студентов факультета (в году 365 дней)?
Решение. n = 1825, m=4, р = 1/365(<0,1) - вероятность того, что день рождения студента 1 сентября,
λ = nр = 1825 • (1/365 ) = 5 < 10, то применяем формулу Пуассона:
По таблицам можно точнее и быстрее найти Р(m,λ). Так для данного примера P1825(4) = P(m, λ) = P(4,5) ≈ 0.17547.
Ответ: вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно четырех студентов факультета равна 0,17547.

Слайд 22

Интегральная теорема Лапласа (n∙p >10)
Интегральная теорема Муавра—Лапласа. Если вероятность р наступления

события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число m наступления события А в n независимых испытаниях заключено в пределах от а до b (включительно), при достаточно большом числе n приближенно равна
где

Слайд 23

Функция Ф(х) называется функцией Лапласа.
Свойства функции Ф(х):
Функция Ф(х) нечетная, т.е.

Ф(-х) = - Ф(х).
Функция Ф(х) монотонно возрастающая, (практически можно считать, что уже при
х > 5, Ф(х) ≈ 0,5).

Слайд 24

Пример. В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют холодильники.

Необходимо найти вероятность того, что из 400 семей от 300 до 360 семей (включительно) имеют холодильники.
Решение. n = 400, a = 300, b = 360, р = 80/100 = 0,8, q =1-p= 0,2,
a ; .
По таблице: Ф(-2,5)= -Ф(2,5) ≈ -0,4938, Ф(5) ≈ 0,499997;
Тогда .
Ответ: вероятность того, что от 300 до 360 семей (включительно) имеют холодильники равна 0,993793.

Слайд 25

Независимые повторные испытания. Схема
Таблица для Таблица для φТаблица для φ(Таблица для

φ(x)
Таблица для Ф(Таблица для Ф(x)
Таблица функции Пуассона

npq >= 10

np < 10

npq < 10

Схема Бернулли

Содержание

Независимые повторные испытания.Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в

Независимые повторные испытания. Примеры:Подбрасываем игральный кубик n раз. Выпадение числа очков

Независимые повторные испытания. Независимые повторные испытания, в каждом из которых возможно

Формула Бернулли.Пусть производится n испытаний Бернулли. Вероятность того, что в этих

Формула Бернулли.Решение. Обозначим А- расход не превысит норму.По условию n =

Формула БернуллиПример. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть

Формула БернуллиПример. Исследование инкубации яиц яичного кросса Беларусь-9 показало, что цыплята

Наивероятнейшее число появлений события.Пример. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали

Наивероятнейшее число появлений события.Рассматривая многоугольник распределения вероятностей мы видим, что есть

Наивероятнейшее число появлений события.Число m0 наступления события А в n независимых

Наивероятнейшее число появлений события. Пример. В результате многолетних наблюдений вероятность дождя

Приближённые формулы в схеме Бернулли.Локальная теорема Лапласа.