Система массового обслуживания

Август 22, 2022

Главная
Математика
Система массового обслуживания

Содержание

2. ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ это прикладная область теории случайных процессов, занимающаяся исследованием вероятностных моделей реальных систем обслуживания
3. Основоположник теории массового обслуживания Ангер Краруп Эрланг (1878—1929) Датский математик и инженер, один из основателей ТМО.
4. СМО – это система, в которой, с одной стороны, возникают массовые запросы (требования) на выполнение каких-либо
5. Показатели эффективности СМО: среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени; среднее время ожидания обслуживания; среднее число
6. СТРУКТУРА СМО Входящий поток требований – последовательность заявок, поступающих на пункт обслуживания Очередь – множество заявок,
7. Классификация СМО производится по различным признакам Число каналов обслуживания одноканальные многоканальные СМО СМО С отказами С
8. С приоритетом Без приоритета СМО СМО Дисциплина обслуживания абсолютным относительным 5. По приоритетности обслуживания: без приоритета
9. ограниченная неограниченная СМО СМО Организация очереди ограниченное неограниченное СМО СМО Время ожидания заявки в очереди
10. Классификация систем массового обслуживания Пвх – характер входящего потока Воб – распределение времени обслуживания Nпр –
11. Характер входящего потока Распределение времени обслуживания
12. Классификация систем с Марковскими процессами обслуживания
13. Формула Литтла
14. Показатели качества обслуживания СМО Ротк – вероятность потери заявки (вероятность отказа), Ро – вероятность простоя, λ
15. Одноканальная СМО с отказами (M/M/1/0 ) Имеет 1 канал на который поступает поток заявок с интенсивностью
17. Пример: Заявки на телефонные переговоры поступают диспетчеру с интенсивностью λ=90 заявок в час (l/ч). Средняя продолжительность
18. Многоканальная СМО с отказами (M/M/n/0 ) Рассмотрим классическую задачу Эрланга: Имеется п каналов, на которые поступает
19. По формулам для процесса гибели и размножения: Обозначим – приведенная интенсивность потока заявок; Тогда, ……….. ………
20. Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все п каналов системы будут заняты: Относительная пропускная
21. Пример: В условиях предыдущей задачи определить оптимальное число телефонных номеров, если условием оптимальности считать удовлетворение в
22. Например, при n=2: По условию оптимальности Q≥0.90 ⇒ необходимо установить 5 телефонных номеров.
23. Пример: В вычислительный центр коллективного пользования с 3 рабочими станциями поступают заказы на вычислительные работы. При
24. Рассчитаем предельные вероятности: Вывод: В стационарном режиме в среднем 47% времени нет ни одной заявки; 35,7
26. Скачать презентацию

Слайд 2

ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
это прикладная область теории случайных процессов, занимающаяся исследованием вероятностных

моделей реальных систем обслуживания
Основоположник ТМО:
Агнер Эрланг (1878 – 1929)
занимался решением задач телефонии
Термин ТМО ввёл:
А. Я. Хинчин (1894 – 1959)

Слайд 3

Основоположник теории массового обслуживания
Ангер Краруп Эрланг (1878—1929)
Датский математик и инженер, один из

основателей ТМО.
1909 год – опубликована работа «Теория вероятностей и телефонные разговоры» (The Theory of Probabilities and Telephone Conversations.) , получившая признание во всем мире.
В его честь названа единица измерения трафика в телекоммуникационных системах – эрланг. 1 эрланг (1 Эрл) эквивалентен разговору двух абонентов в течение 1 часа.
Формулой Эрланга пользуются до сих пор.

Слайд 4

СМО – это система, в которой, с одной стороны, возникают массовые

запросы (требования) на выполнение каких-либо услуг, а с другой происходит удовлетворение этих запросов.

Элементы СМО:
источник требований (заявка на обслуживание)
входящий поток требований
очередь
обслуживающие устройства (каналы обслуживания)
выходящий поток требований

Определение: Система массового обслуживания (СМО) – это совокупность приборов, каналов, станков, линий обслуживания, на которые в случайные или детерминированные моменты времени поступают заявки на обслуживание.
Примеры СМО:
вычислительные комплексы,
банковские системы
торговые терминалы
коммутаторы телефонных станций
информационные службы
комбинаты бытового обслуживания и т.д.

Слайд 5

Показатели эффективности СМО:
среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;
среднее время

ожидания обслуживания;
среднее число заявок в очереди;
вероятность отказа в обслуживании без ожидания;
вероятность превышения числа заявок в очереди определенного значения и др.

Слайд 6

СТРУКТУРА СМО
Входящий поток требований – последовательность заявок, поступающих на пункт обслуживания

Очередь – множество заявок, ожидающих обслуживания

Каналы обслуживания – совокупность устройств, выполняющих операции по обслуживанию заявок

Выходящий поток требований – поток заявок, покидающих обслуживающую систему

Слайд 7

Классификация СМО производится по различным признакам
Число каналов обслуживания
одноканальные
многоканальные
СМО
СМО
С отказами
С ожиданием
СМО
СМО
Характер
поступления

заявок

Слайд 8

С приоритетом
Без приоритета
СМО
СМО
Дисциплина
обслуживания
абсолютным
относительным
5. По приоритетности обслуживания:
без приоритета - требования обслуживаются в

порядке их поступления на СМО;
с приоритетом - требования обслуживаются в зависимости от присвоенного им при поступлении ранга приоритетности (например, заправка автомобилей скорой помощи на АЗС; первоочередной ремонт на АТП автомобилей, приносящих наибольшую прибыль на перевозках).

Слайд 9

ограниченная
неограниченная
СМО
СМО
Организация
очереди
ограниченное
неограниченное
СМО
СМО
Время ожидания
заявки в очереди

Слайд 10

Классификация систем массового обслуживания
Пвх – характер входящего потока
Воб – распределение времени

обслуживания
Nпр – число обслуживающих приборов
Енак – емкость накопителя (длина очереди)

Слайд 11

Характер входящего потока
Распределение времени обслуживания

Слайд 12

Классификация систем с Марковскими процессами обслуживания

Слайд 13

Формула Литтла

Слайд 14

Показатели качества обслуживания СМО
Ротк – вероятность потери заявки (вероятность отказа),
Ро –

вероятность простоя,
λ – интенсивность поступления заявок,
μ – интенсивность обслуживания,
ρ=λ/μ – приведенная интенсивность потока заявок,
А=λ*q – абсолютная пропускная способность,
Q – среднее число заявок за единицу времени,
ω – среднее число заявок под обслуживанием
для M/M/n/m ω=z,
для M/M/1/∞, при ρ>1 ω= ρ
tож –среднее время ожидания в очереди,
tсист – общее время пребывания в системе
z – среднее число занятых каналов для многоканальных СМО

Слайд 15

Одноканальная СМО с отказами (M/M/1/0 )
Имеет 1 канал на который поступает

поток заявок с интенсивностью λ.
μ, - интенсивность потока обслуживания
- среднее время обслуживания;
Граф состояний:
Состояние S0 – канал свободен;
Состояние S1 – канал занят;

Слайд 16

Слайд 17

Пример: Заявки на телефонные переговоры поступают диспетчеру с интенсивностью λ=90 заявок

в час (l/ч). Средняя продолжительность разговора по телефону
= 2 мин. Определить показатели эффективности работы СМО при наличии одного телефонного номера.
Решение:
Тогда, , т.е. в среднем диспетчер
ответит только на 25% звонков
Вывод: Одного номера недостаточно

- среднее число
обслуженных заявок

Слайд 18

Многоканальная СМО с отказами (M/M/n/0 )
Рассмотрим классическую задачу Эрланга:
Имеется п каналов,

на которые поступает поток заявок ,с интенсивностью λ. Поток обслуживаний имеет интенсивность μ. Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.
Граф состояний СМО соответствует процессу гибели и размножения:
Состояние Sk – когда в СМО заняты k каналов.

Слайд 19

По формулам для процесса гибели и размножения:
Обозначим – приведенная интенсивность потока

заявок;
Тогда,
………..
………

⇐ Формулы Эрланга

Слайд 20

Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все п каналов

системы будут заняты:
Относительная пропускная способность:
Абсолютная пропускная способность:
Среднее число занятых каналов

Слайд 21

Пример: В условиях предыдущей задачи определить оптимальное число телефонных номеров, если

условием оптимальности считать удовлетворение в среднем из каждых 100 заявок не менее 90 заявок на переговоры.
Решение: Рассчитаем интенсивность нагрузки канала:
, т.е. за время среднего (по
продолжительности) телефонного разговора поступает в среднем 3 заявки на переговоры.
Будем постепенно увеличивать число каналов (телефонных номеров) п=2,3,4,… и определять характеристики СМО.

Слайд 22

Например, при n=2:
По условию оптимальности Q≥0.90 ⇒ необходимо установить 5 телефонных

номеров.

Слайд 23

Пример: В вычислительный центр коллективного пользования с 3 рабочими станциями поступают

заказы на вычислительные работы. При загрузке всех ЭВМ вновь поступивший заказ не принимается. Среднее время работы с одним заказом – 3 часа. Интенсивность потока заявок 0.25 (1/ч). Найти предельные вероятности состояний и показатели эффективности.
Решение: По условию n=3 λ=0.25(1/ч) = 3 часа
Отсюда,
Интенсивность нагрузки: (1/ч)

Слайд 24

Рассчитаем предельные вероятности:
Вывод: В стационарном режиме в среднем 47% времени

нет ни одной заявки; 35,7 % времени – обрабатывается 1 заявка; 13,4% времени – обрабатываются 2 заявки; 3,3% времени – обрабатываются 3 заявки;
⇒

Система массового обслуживания

Содержание

ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯэто прикладная область теории случайных процессов, занимающаяся исследованием вероятностных

Основоположник теории массового обслуживанияАнгер Краруп Эрланг (1878—1929)Датский математик и инженер, один из

СМО – это система, в которой, с одной стороны, возникают массовые

Показатели эффективности СМО:среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени; среднее время

СТРУКТУРА СМОВходящий поток требований – последовательность заявок, поступающих на пункт обслуживания

С приоритетомБез приоритетаСМОСМОДисциплина обслуживанияабсолютнымотносительным5. По приоритетности обслуживания:без приоритета - требования обслуживаются в

ограниченнаянеограниченнаяСМОСМООрганизация очередиограниченноенеограниченноеСМОСМОВремя ожидания заявки в очереди

Классификация систем массового обслуживанияПвх – характер входящего потокаВоб – распределение времени

Характер входящего потокаРаспределение времени обслуживания