Скалярное произведение векторов

Угол между векторами

α

Лучи ОА и ОВ образуют угол АОВ.

О

Найти углы между векторами.

300

300

1200

900

1800

00

Два вектора называются

№ 441 АВСDA1B1C1D1 – куб.
Найдите угол между векторами.

450

1350

№ 442 Угол между векторами и равен . Найдите углы между

Сумма векторов – вектор.

Разность векторов – вектор.

Произведение вектора на число –

Скалярное произведение в физике

cos 900

= 0

0

⇔

Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда

cos

Скалярное произведение ненулевых векторов положительно тогда и только тогда , когда

cos

Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда , когда

cos 00

1

cos1800

-1

cos

00

1

Таким образом,
скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

D1

№ 443 АВСDA1B1C1D1 – куб. Найдите скалярное произведение векторов

C

B

A

D

C1

A1

B1

a

a

300

Все ребра тетраэдра АВСD равны друг другу. Точки М и

Маленький тест

5

3

2

ВЕРНО!

1

3

ПОДУМАЙ!

ПОДУМАЙ!

Проверка

На каком расстоянии от плоскости xOy находится точка А(2; -3;

5;

3.

1

ВЕРНО!

2

3

ПОДУМАЙ!

ПОДУМАЙ!

Проверка

4;

На каком расстоянии от начала координат находится точка А(-3; 4; 0)

2

ВЕРНО!

1

3

ПОДУМАЙ!

ПОДУМАЙ!

Найти координаты середины отрезка, если концы его
имеют координаты и

A(-3; 2;-4)

1

ВЕРНО!

2

3

ПОДУМАЙ!

Проверка

Дан квадрат АВСD.
Найдите угол между векторами и .

1350;

900.

450;

ПОДУМАЙ!

Скалярное произведение координатных векторов
и :

3

ВЕРНО!

2

1

ПОДУМАЙ!

ПОДУМАЙ!

Проверка

равно нулю, т.к. угол между

1

ВЕРНО!

2

3

ПОДУМАЙ!

ПОДУМАЙ!

Проверка

Скалярный квадрат вектора равен:

7 i

49

7

1

Скалярный квадрат вектора
равен квадрату его длины.

2

ВЕРНО!

1

3

ПОДУМАЙ!

ПОДУМАЙ!

Записать координаты вектора

3

ВЕРНО!

2

1

ПОДУМАЙ!

ПОДУМАЙ!

Проверка

500

600

1200

Найдите угол между векторами и , если

Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно

ПОДУМАЙ!

3

2

1

ПОДУМАЙ!

Проверка (3)

ABCDA1B1C1D1 – куб, ребро которого равно 1.
Найдите скалярное произведение

( )

( )

Скалярное произведение векторов
и
выражается формулой

a {x1; y1;z1}

b {x2;

№ 444 Даны векторы

Вычислить

Скалярное произведение векторов

b {-2; 1; 3},

Найдите

c {-2;-1,5; 0}

= - 4

= 2,5

Косинус угла между ненулевыми векторами и
выражается формулой

x1 x2 + y1

x1x2 + y1y2+ z1z2

Доказательство:

= x1x2 + y1y2+ z1z2

Сочетательный закон

Переместительный закон

Распределительный закон

1

2

3

Свойства скалярного произведения векторов

4

причем при

№ 462. ABCDA1B1C1D1 – прямоугольный параллелепипед, АА1=АВ=АD=1, ,

B1

C

D

A

B

C1

A1

1

1

1

600

D1

а)

№ 462.

B1

C

D

A

B

C1

A1

1

1

1

600

D1

(0;1;1)

№ 462.

B1

C

D

A

B

C1

A1

1

1

1

600

в)

D1

1200

1 способ

№ 462.

B1

C

D

A

B

C1

A1

1

1

1

600

в)

D1

2 способ

(0;1;1)

№ 462.

B1

C

D

A

B

C1

A1

1

1

1

600

IDB1I

г)

D1

1

№ 462.

B1

C

D

A

B

C1

A1

1

1

1

600

D1

Применение скалярного произведения для вычисления угла между прямыми/

Ненулевой вектор

Угол между прямыми это тот из углов, который не превосходит любой

a

ϕ

θ

Применение скалярного произведения для вычисления угла между прямой и плоскостью.

a

ϕ

тупой