Сложение и умножение вероятностей

одному из событий А, В

(пересечение) – событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям А и В.

называется противоположным событию А, если состоит из элементарных исходов, которые не входят в А.

Несовместные события – это события, которые не наступают в одном опыте.

событий:

Формула умножения вероятностей:

Условная вероятность В при условии, что А наступило

Формула умножения вероятностей для независимых событий (наступают одновременно):

События называются независимыми, если появление одного их них не зависит от появления другого (других).

туз или пиковую масть. 

Решение
А — «вытащили туз»
В — «вытащили пиковую масть».
А∩В — «вытащили пиковый туз»

Ответ: 1/3

мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых.

Решение:
Вероятность попадания = 0,8
Вероятность промаха = 1 - 0,8 = 0,2
А={попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся}
По формуле умножения вероятностей
Р(А)= 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,8 ∙ 0,2 ∙ 0,2
Р(А)= 0,512 ∙ 0,04 = 0,02048 ≈ 0,02
Ответ: 0,02

может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение:

По формуле умножения вероятностей:

А={хотя бы один автомат исправен}

Ответ: 0,9975

шара. Из каждой урны извлекают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара белые?

Решение:
А — «из первой урны извлечен белый шар»
В — «из второй урны извлечен белый шар»
А∩В — «оба  шара белые»
P(A) = 7/11
P(B) = 2/3
События А и В независимы, применив теорему умножения:

Ответ: 14/33

строя первого элемента 0,2; второго — 0,3; третьего — 0,2. Какова вероятность того, что:
а)  все три элемента выйдут из строя;
б)  все элементы будут работать.

Решение:
А1 — «первый элемент вышел из строя»
А2 — «второй элемент вышел из строя» 
А3 — «третий элемент вышел из строя» 
События А1,А2,А3 независимы
Р(А1) = 0,2; P(А2) = 0,3; P(А3) = 0,2. 
а) Р(А1∩А2∩А3) = Р(А1)·Р(А2)·Р(А3) = 0,2·0,3·0,2 = 0,012
б) 

быть неисправен с вероятностью 0,1. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение:

По формуле умножения вероятностей:

А={хотя бы один автомат исправен}

Ответ: 0,999

разговором с клиентом с вероятностью 0,7 независимо от других. Клиент звонит в магазин. Найдите вероятность того, что в этот момент хотя бы один оператор не занят.

Решение:

По формуле умножения вероятностей:

А={хотя бы один оператор не занят}

Ответ: 0,657

и Гоша. На уроке физкультуры класс случайным образом разбивают на 3 равные группы . Найдите вероятность того, что Тоша и Гоша попали в одну группу.

Решение:

21:3 = 7 – количество учеников в одной группе

Вероятность того, что Тоша попадет в 1-ую группу

Вероятность того, что Гоша попадет в ту же группу

Вероятность того, что Тоша и Гоша попадут в 1-ую группу

Всего групп 3 ⇒
P = 0,1 + 0,1 + 0,1 = 0,3

Ответ: 0,3

- брат и сестра. Для проведения медосмотра класс случайным образом разбивают на 2 равные группы. Найти вероятность того, что Владик и Наташа попали в разные группы.

Решение:

28:2 = 14 – количество учеников в одной группе

Вероятность того, что Наташа попадет в 1-ую группу

Вероятность того, что Владик попадет во 2-ую группу

Вероятность того, что Наташа попадет 1-ю, а Владик во 2-ую группу

2-ой случай: Наташа во 2-ую, Владик в 1-ую группу ⇒

Ответ: 14/27

испанца. Для посещения музея группу делят на две подгруппы – 25 и 26 человек – случайным образом. Найти вероятность того, что оба испанца окажутся в одной подгруппе.

Решение:

Вероятность, что оба испанца окажутся в I подгруппе

Вероятность, что оба испанца окажутся во II подгруппе

Вероятность, что оба испанца окажутся в I или во II подгруппе

Ответ: 25/51