Случайные величины и их законы распределения

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Случайные величины и их законы распределения

Содержание

2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Ряд распределения. Многоугольник распределения Законом распределения случайной величины называется всякое
3. Рассмотрим прерывную случайную величину X с возможными значениями x1, х2, …, хn. Каждое из этих значений
4. Ряд распределения случайной величины X имеет следующий вид Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид, часто
5. Многоугольник распределения, так же как и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину; он является одной из
6. Функция распределения Для количественной характеристики распределения вероятностей удобно воспользоваться не вероятностью события Х=х, а вероятностью события
7. Функция распределения F(x) иногда называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения. Функция распределения –
8. Сформулируем некоторые общие свойства функции распределения. Функция распределения F(x) есть неубывающая функция своего аргумента, т. е.
9. График функции распределения вероятностей.
10. Не давая строгого доказательства этих свойств, проиллюстрируем их с помощью наглядной геометрической интерпретации. Для этого будем
11. Плотность распределения Функция f(x) – произвольная функция распределения характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения
12. Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения.
13. Плотность распределения, так же как и функция распределения, есть одна из форм закона распределения. В противоположность
14. Рассмотрим непрерывную случайную величину X с плотностью распределения f(х) и элементарный участок dх, примыкающий к точке
16. Выразим вероятность попадания величины X на отрезок от α до β через плотность распределения. Очевидно, она
17. Основные свойства плотности распределения. Плотность распределения есть неотрицательная функция: Это свойство непосредственно вытекает из того, что
18. Геометрически основные свойства плотности распределения означают, что: вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс; 2)
19. Математическое ожидание Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности
20. Для непрерывной случайной величины Х математическое ожидание выражается уже не суммой, а интегралом: где f(x) –
21. МОМЕНТЫ Понятие момента широко применяется в механике для описания распределения масс. Совершенно теми же приемами пользуются
22. Начальный момент Начальным моментом s-го порядка прерывной случайной величины Х называется сумма вида: Для непрерывной случайной
23. Общее определение начального момента s-го порядка справедливое как для прерывных, так и для непрерывных величин: ,
24. Центральный момент Центральным моментом порядка s случайной величины Х называется математическое ожидание s-ой степени соответствующей центрированной
25. Дисперсия Из всех моментов в качестве характеристик случайной величины чаще всего применяются первый начальный момент (математическое
26. РАВНОМЕРНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛНИЯ Случайная величина имеет равномерный закон распределения если ее значения в интервале одинаково равновероятны.
27. Равномерный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида:
28. Равномерный закон распределения характеризуется функцией распределения вида :
29. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Нормальный закон распределения (часто называемый законом Гаусса) играет исключительно важную роль в теории
30. Кривая распределения, по нормальному закону имеет симметричный колоколообразный вид. Максимальная ордината кривой, равная соответствует точке х
31. Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида:
32. Нормальный закон распределения характеризуется функцией распределения вида: - табулированный интеграл Лаплас
33. РЕЛЕЕВСКИЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Распределение модуля вектора на плоскости, координаты которого являются независимыми случайными величинами, что имеют
34. Релеевский закон распределения определяется плотностью вида
35. Релеевский закон распределения определяется функцией вида Плотности распределения соответствует функция распределения вероятностей при и равная при
37. Скачать презентацию

Слайд 2

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Ряд распределения. Многоугольник распределения
Законом

распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Слайд 3

Рассмотрим прерывную случайную величину X с возможными значениями x1, х2, …,

хn. Каждое из этих значений возможно, но не достоверно, и величина X может принять каждое из них с некоторой вероятностью. В результате опыта величина X примет одно из этих значений, т. е. произойдет одно из полной группы несовместных событий.
Обозначим вероятности этих событий буквами р с соответствующими индексами:
Р(Х=х1)=р1; Р(Х=х2) = р2; ...; Р(Х = хn) = рn.

Так как несовместные события образуют полную группу, то сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице

Слайд 4

Ряд распределения случайной величины X имеет следующий вид
Чтобы придать ряду распределения

более наглядный вид, часто прибегают к его графическому изображению: по оси абсцисс откладываются возможные значения случайной величины, а по оси ординат — вероятности этих значений. Такая фигура называется многоугольником распределения.

Слайд 5

Многоугольник распределения, так же как и ряд распределения, полностью характеризует случайную

величину; он является одной из форм закона распределения.

Слайд 6

Функция распределения
Для количественной характеристики распределения вероятностей удобно воспользоваться не вероятностью события

Х=х, а вероятностью события XF(x)=P(X

Слайд 7

Функция распределения F(x) иногда называют также интегральной функцией распределения или интегральным

законом распределения.
Функция распределения – самая универсальная характеристика случайной величины. Она существует для всех случайных величин: как прерывных, так и непрерывных. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения.

Слайд 8

Сформулируем некоторые общие свойства функции распределения.
Функция распределения F(x) есть неубывающая функция

своего аргумента, т. е. при х2 > х1
F(х2) ≥ F(x1).
На минус бесконечности функция распределения равна нулю:
F (- ∞) = 0.
На плюс бесконечности функция распределения равна единице:
F (+ ∞) = 1.

Слайд 9

График функции распределения вероятностей.

Слайд 10

Не давая строгого доказательства этих свойств, проиллюстрируем их с помощью наглядной

геометрической интерпретации. Для этого будем рассматривать случайную величину X как случайную точку X на оси Ох, которая в результате опыта может занять то или иное положение.
Тогда функция распределения F(x) есть вероятность того, что случайная точка X в результате опыта попадет левее точки х.

Слайд 11

Плотность распределения
Функция f(x) – произвольная функция распределения
характеризует как

бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения (иначе – «плотность вероятностей») непрерывной случайной величины.
Иногда функцию f(x) называют также «дифференциальной функцией распределения» или «дифференциальным законом распределения» величины Х.

Слайд 12

Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения.

Слайд 13

Плотность распределения, так же как и функция распределения, есть одна из

форм закона распределения.
В противоположность функции распределения эта форма не является универсальной: она существует только для непрерывных случайных величин.

Слайд 14

Рассмотрим непрерывную случайную величину X с плотностью распределения f(х) и элементарный

участок dх, примыкающий к точке х. Вероятность попадания случайной величины X на этот элементарный участок (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) равна f(х)dх.
Величина f(х)dх называется элементом вероятности. Геометрически это есть площадь элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок dх.

Слайд 15

Слайд 16

Выразим вероятность попадания величины X на отрезок от α до β

через плотность распределения. Очевидно, она равна сумме элементов вероятности на всем этом участке, т. е. интегралу:

Геометрически вероятность попадания величины X на участок (α, β) равна площади кривой распределения, опирающейся на этот участок.

Слайд 17

Основные свойства плотности распределения.
Плотность распределения есть неотрицательная функция:
Это свойство непосредственно

вытекает из того, что функция распределения F(x) есть неубывающая функция.

Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:

Слайд 18

Геометрически основные свойства плотности распределения означают, что:
вся кривая распределения лежит не

ниже оси абсцисс;
2) полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Слайд 19

Математическое ожидание
Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений

случайной величины на вероятности этих значений.
, где
Х – прерывная случайная величина,
М[X] – среднее значение случайной величины,
– возможные значения величины Х,
– вероятности значений.

Слайд 20

Для непрерывной случайной величины Х математическое ожидание выражается уже не суммой,

а интегралом:
где f(x) – плотность распределения величины Х.
Из характеристик положения в теории вероятности важнейшую роль играет математическое ожидание случайной величины, которое иногда называют просто средним значением случайной величины.

Слайд 21

МОМЕНТЫ
Понятие момента широко применяется в механике для описания распределения масс.
Совершенно теми

же приемами пользуются в теории вероятностей для описания основных свойств распределения случайной величины.
Чаще всего применяются на практике моменты двух видов: начальные и центральные.

Слайд 22

Начальный момент
Начальным моментом s-го порядка прерывной случайной величины Х называется сумма

вида:
Для непрерывной случайной величины Х начальным моментом s-го порядка называется интеграл:

Слайд 23

Общее определение начального момента s-го порядка справедливое как для прерывных, так

и для непрерывных величин:
,
т.е. начальным моментом s-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание s-ой степени этой случайной величины.

Слайд 24

Центральный момент
Центральным моментом порядка s случайной величины Х называется математическое ожидание

s-ой степени соответствующей центрированной случайной величине:
Для любой случайной величины центральный момент первого порядка равен нулю:
т. к. математическое ожидание центрированной случайной величины всегда равно нулю.

Слайд 25

Дисперсия
Из всех моментов в качестве характеристик случайной величины чаще всего применяются

первый начальный момент (математическое ожидание) и второй центральный момент.
Второй центральный момент называется дисперсией случайной величины (D[X]).
Согласно определению центрального момента:
т.е. дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины.

Слайд 26

РАВНОМЕРНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛНИЯ
Случайная величина имеет равномерный закон распределения если ее значения

в интервале одинаково равновероятны.

Слайд 27

Равномерный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида:

Слайд 28

Равномерный закон распределения характеризуется функцией распределения вида :

Слайд 29

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Нормальный закон распределения (часто называемый законом Гаусса) играет

исключительно важную роль в теории вероятностей и занимает среди других законов распределения особое положение.
Это — наиболее часто встречающийся на практике закон распределения. Главная особенность, выделяющая нормальный закон среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях.

Слайд 30

Кривая распределения, по нормальному закону имеет симметричный колоколообразный вид. Максимальная ордината

кривой, равная
соответствует точке х = т; по мере удаления от точки m плотность распределения падает, и при x → ± ∞ кривая асимптотически приближается к оси абсцисс.

Слайд 31

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида:

Слайд 32

Нормальный закон распределения характеризуется функцией распределения вида:
- табулированный интеграл Лаплас

Слайд 33

РЕЛЕЕВСКИЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Распределение модуля вектора на плоскости, координаты которого являются независимыми

случайными величинами, что имеют нормальный закон распределения с нулевым средним и единичной дисперсией, описываются распределение Релея.
Распределение Релея реализуют когда погрешности измерения по координатам x и y независимы и нормально распределены с одинаковыми дисперсиями.

Слайд 34

Релеевский закон распределения
определяется плотностью вида

Слайд 35

Релеевский закон распределения определяется функцией вида
Плотности распределения соответствует функция распределения вероятностей

при и равная

при .

Случайные величины и их законы распределения

Содержание

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Ряд распределения. Многоугольник распределения Законом

Рассмотрим прерывную случайную величину X с возможными значениями x1, х2, …,

Ряд распределения случайной величины X имеет следующий видЧтобы придать ряду распределения

Многоугольник распределения, так же как и ряд распределения, полностью характеризует случайную

Функция распределенияДля количественной характеристики распределения вероятностей удобно воспользоваться не вероятностью события

Функция распределения F(x) иногда называют также интегральной функцией распределения или интегральным

Сформулируем некоторые общие свойства функции распределения.Функция распределения F(x) есть неубывающая функция

График функции распределения вероятностей.

Не давая строгого доказательства этих свойств, проиллюстрируем их с помощью наглядной

Плотность распределения Функция f(x) – произвольная функция распределения характеризует как

Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения.

Плотность распределения, так же как и функция распределения, есть одна из

Рассмотрим непрерывную случайную величину X с плотностью распределения f(х) и элементарный

Выразим вероятность попадания величины X на отрезок от α до β

Основные свойства плотности распределения. Плотность распределения есть неотрицательная функция:Это свойство непосредственно

Геометрически основные свойства плотности распределения означают, что:вся кривая распределения лежит не

Математическое ожиданиеМатематическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений

Для непрерывной случайной величины Х математическое ожидание выражается уже не суммой,

МОМЕНТЫПонятие момента широко применяется в механике для описания распределения масс.Совершенно теми

Начальный моментНачальным моментом s-го порядка прерывной случайной величины Х называется сумма