Соответствия и отношения

Соответствия обозначаются буквами Р, S, Т и др.
Если S – соответствие между множествами Х и У, то S ⊂ Х×У.

Соответствия между элементами двух множеств

Способы задания соответствий между элементами множеств Х и У

2) Перечислением упорядоченных пар.

3) При помощи графа

4) При помощи графика на координатной плоскости.

3) При помощи графа:

1) S: «х больше у», где х ∈ Х, у ∈У или S: «х > у».

2) S = {(5;4), (7;4), (9;4), (7;6), (9;6)}.

Х У

3
5
7
9

4
6

2) График данного соответствия:

1) S:«х больше у,» где х∈Х, у∈У или S: «х > у».

Пример: Х = {3, 5, 7, 9}, У = {4, 6}, S: «больше».

S: «х больше у», где х ∈ Х, у ∈У или S: «х > у».
S-1: «у меньше х», или S-1: «у < х».

Графы взаимно обратных соответствий отличаются друг от друга направлением стрелок.

S′: «не больше» или S´: «х ≤ у».
S´ = {(3;4), (3;6), (5;6)}.

Х×У = {(3;4), (3;6), (5;4), (5;6), (7;4), (7;6), (9;4), (9;6)}.

Примеры:
Х – множество углов треугольника,
У – множество его сторон.
Соответствие, при котором углу сопоставляется противолежащая ему сторона, будет взаимно однозначным.

Равномощными могут быть как конечные, так и бесконечные множества. Равномощные конечные множества называют еще равночисленными.

Отношения обозначают заглавными буквами латинского алфавита: R, S, Т, Р и др.
Если R – отношение на множестве Х, то
R ⊂ Х × Х.

Например, R: «число х меньше числа у» или R: «х < у»;
Т: «число х в 3 раза больше числа у» или
Т: «х = 3у».

Пример: Х = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
R: « больше на 2» или
R: «х больше у на 2»
R = {(4; 2), (5; 3), (6; 4), (7; 5), (8; 6)}

3) Граф

Примеры:
На множестве чисел задано отношение R: «х меньше у»,
R-1: «у больше х».

2) На множестве отрезков задано отношение Т: «х длиннее у»,
Т-1: «у короче х».

Переформулировка свелась к замене отношения «меньше на 2» обратным ему отношением «больше на 2»

Пример: На множестве Х = {2, 4, 6} заданы отношения: а) R: «больше», б) Т: «кратно». Найти R′ и Т′.

Х×Х = {(2; 2), (2; 4), (2; 6), (4; 2), (4; 4), (4; 6), (6; 2), (6; 4), (6; 6)}

Х = {А, Б, В, Г, Д}, R: «быстрее»

1 – Борис
2 – Виктор
3 – Дима
4 – Гриша
5 - Андрей

Примеры: 1) отношение равенства на множестве чисел.
2) Отношение делимости на множестве чисел.
3) Отношение равенства на множестве отрезков.

Граф антирефлексивного отношения…

не содержит петель.

Существуют отношения, не являющиеся ни рефлексивными, ни антирефлексивными. Пример: «точка х симметрична точке у относительно прямой а».

Примеры:
1. Отношения «больше», «меньше», «больше на…», «меньше на…» для чисел.
2. Отношения «длиннее», «короче» для отрезков.

Граф транзитивного отношения характерен тем, что вместе с парой стрелок, идущих от х к у и от у к z, содержит стрелку, идущую от х к z. Справедливо и обратное утверждение.

Существуют отношения, которые свойством транзитивности не обладают.
Например, отношение перпендикулярности:
если отрезок а перпендикулярен отрезку b, а отрезок b перпендикулярен отрезку с, то отрезки а и с не перпендикулярны.

Граф связанного отношения отличается тем, что любые две его вершины соединены стрелкой. Справедливо и обратное утверждение.

Существуют отношения, не обладающие свойством связанности. Например, отношение «кратно» на множестве Х = {2, 3, 4}.

Отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Отношение эквивалентности

Х1 =

Х2 =

Х3 =

Примеры: 1. Отношения «меньше», «больше» на множестве чисел.
2.Отношение «длиннее», «короче» на множестве отрезков.

Различают отношения строго порядка и нестрогого порядка.
Отношение строгого порядка определено выше.
Отношение нестрогого порядка, кроме названных свойств, обладает еще и свойством рефлексивности.

Пример: Если на множестве N задать отношение «меньше» (или «больше»), то множество N будет упорядоченным.

Примеры: 1. «больше или равно» (≥), «меньше или равно» (≤) на числовом множестве.
2. «быть делителем» на множестве Ν.