Сравнения с неизвестной величиной. Решение алгебраических сравнений

Сентябрь 13, 2022

Главная
Математика
Сравнения с неизвестной величиной. Решение алгебраических сравнений

Содержание

2. Решение алгебраических сравнений Пусть многочлены Будем рассматривать сравнения вида Такие сравнения называют алгебраическими Если в такое
3. Теорема 1 Если число с удовлетворяет сравнению то и весь класс по модулю т состоит из
4. Определение Решением сравнения называется класс чисел по модулю т, удовлетворяющих этому сравнению Числом решений сравнения называют
5. Примеры 1. Непосредственная проверка показывает, что в полной системе наименьших по абсолютной величине вычетов –5, –4,
6. Равносильные сравнения Определение Пусть Сравнения и называются равносильными (эквивалентными), если множества чисел, удовлетворяющих этим сравнениям, совпадают
7. Теорема 2 1) Если к обеим частям сравнения прибавим любой многочлен , то получим сравнение, равносильное
8. Теорема 3 Пусть и – многочлены с целыми коэффициентами. Если , , …, , то сравнения
9. Определение Степенью сравнения называют степень многочлена , если старший коэффициент не делится на т Пример Степень
10. Лекция 8 СРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
11. Сравнения 1-ой степени Сравнение 1-ой степени может быть приведено к виду Теорема 4 Если , то
12. Методы решений сравнения Метод подбора Использование теоремы Эйлера Метод преобразования коэффициентов
13. Теорема 6 Если и b не делится на d, то сравнение (2) не имеет решений Теорема
14. Алгоритм решения сравнения Убедившись, что и , делим обе части и модуль сравнения (2) на d
15. Неопределённые уравнения Диофантово уравнение первой степени с двумя неизвестными , где Требуется решить это уравнение в
17. Скачать презентацию

Слайд 2

Решение алгебраических сравнений
Пусть многочлены
Будем рассматривать сравнения вида
Такие сравнения называют

алгебраическими
Если в такое сравнение вместо х подставлять различные целые числа, то некоторые из них могут удовлетворять сравнению, то есть при их подстановке вместо х получается верное числовое сравнение

Слайд 3

Теорема 1 Если число с удовлетворяет сравнению то и весь класс

по модулю т состоит из чисел, удовлетворяющих этому сравнению

Доказательство
Пусть
Тогда , k = 0, 1, 2, …
Складывая такие сравнения, получим, что
А так как по условию , то по транзитивности и b удовлетворяет (1)
Таким образом вместе с с любое число b класса тоже удовлетворяет сравнению (1)

Слайд 4

Определение Решением сравнения называется класс чисел по модулю т, удовлетворяющих этому

сравнению

Числом решений сравнения называют число классов чисел, удовлетворяющих сравнению
Так как классов по модулю т конечное число, то для решения сравнения (1) достаточно взять полную систему вычетов по модулю т и отобрать те классы, представители которых удовлетворяют (1)

Слайд 5

Примеры
1.
Непосредственная проверка показывает, что в полной системе наименьших по абсолютной

величине вычетов –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 сравнению удовлетворяет только одно число 5
Решение записываем в виде
2.
В полной системе вычетов –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4 ни одно число не удовлетворяет сравнению и, следовательно, сравнение не имеет решений
3.
Этому сравнению удовлетворяет любое число (по теореме Ферма). Сравнение имеет 3 решения – классы

Слайд 6

Равносильные сравнения
Определение
Пусть
Сравнения и
называются равносильными (эквивалентными), если множества

чисел, удовлетворяющих этим сравнениям, совпадают

Слайд 7

Теорема 2
1) Если к обеим частям сравнения прибавим любой многочлен ,

то получим сравнение, равносильное первоначальному
2) Если обе части сравнения умножим на одно и то же число, взаимно простое с модулем, то получим сравнение, равносильное первоначальному
3) Если обе части сравнения и модуль умножим на одно и то же натуральное число, то получим сравнение, равносильное первоначальному.
Из теоремы 2 (пункт 1) следует, что сравнение
можно заменить равносильным сравнением
Поэтому в дальнейшем достаточно рассматривать сравнение

Слайд 8

Теорема 3
Пусть и – многочлены с целыми коэффициентами.
Если , , …,

, то сравнения и равносильны.
Из теоремы следует, что сравнение заменится равносильным, если отбросить или добавить слагаемые с коэффициентами, кратными модулю
Пример
Сравнения и
равносильны, так как
по модулю 3

Слайд 9

Определение
Степенью сравнения называют степень многочлена , если старший коэффициент не

делится на т
Пример
Степень сравнения равна двум, так как , а само сравнение равносильно

Слайд 10

Лекция 8 СРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ

Слайд 11

Сравнения 1-ой степени
Сравнение 1-ой степени может быть приведено к виду
Теорема 4

Если , то сравнение (2) имеет единственное решение
Теорема 5
Если , то решением сравнения (2) является класс

Слайд 12

Методы решений сравнения
Метод подбора
Использование теоремы Эйлера
Метод преобразования коэффициентов

Слайд 13

Теорема 6
Если и b не делится на d, то сравнение (2)

не имеет решений
Теорема 7
Если и , то сравнение (2) имеет d решений, которые составляют один класс вычетов по модулю и находятся по формулам
где с удовлетворяет вспомогательному сравнению

Слайд 14

Алгоритм решения сравнения
Убедившись, что и , делим обе части и модуль

сравнения (2) на d и получаем вспомогательное сравнение
, где
Сравнение имеет единственное решение.
Пусть это решение
2) Записываем ответ

Слайд 15

Неопределённые уравнения Диофантово уравнение первой степени с двумя неизвестными , где Требуется

решить это уравнение в целых числах

Если и с не делится на d, то очевидно, что сравнение не имеет решений в целых числах
Если же с делится на d, то поделим обе части уравнения на d
Поэтому достаточно рассмотреть случай, когда
Так как ax отличается от с на число, кратное b, то
(без ограничения общности можно считать, что )
Решая это сравнение, получим или
где

Сравнения с неизвестной величиной. Решение алгебраических сравнений

Содержание

Решение алгебраических сравненийПусть многочлены Будем рассматривать сравнения вида Такие сравнения называют

Теорема 1 Если число с удовлетворяет сравнению то и весь класс

Определение Решением сравнения называется класс чисел по модулю т, удовлетворяющих этому

Примеры1. Непосредственная проверка показывает, что в полной системе наименьших по абсолютной

Равносильные сравненияОпределение Пусть Сравнения и называются равносильными (эквивалентными), если множества

Теорема 21) Если к обеим частям сравнения прибавим любой многочлен ,

Теорема 3Пусть и – многочлены с целыми коэффициентами.Если , , …,

Определение Степенью сравнения называют степень многочлена , если старший коэффициент не