Статистическая обработка результатов измерений.Нормальный закон распределения. Лекция 4

Август 12, 2022

Главная
Математика
Статистическая обработка результатов измерений.Нормальный закон распределения. Лекция 4

Содержание

2. Нормальный закон распределения Для получения закона распределения любой случайной величины У, ее необходимо неоднократно измерить. Пусть
3. Дисперсией σ2 называют характеристику, которая определяет кучность (разброс) значений Уi относительно Му. При n → ∞
4. По значениям Уi можно построить график функции распределения F(у). Для этого по горизонтальной оси отложим значения
5. Более наглядно закон распределения можно представить с помощью плотности распределения f(У), которая является дифференциальной функцией и
6. При изменении параметра Му форма нормальной кривой не изменяется. В этом случае, если математическое ожидание Му
7. Для реального эксперимента, т.е для случая, когда количество замеров Уi значительно меньше ∞, имеют дело с
8. Рассмотрим пример. Пусть задана выборка значений роста группы студентов: Требуется построить для этой выборки функцию распределения
9. Рост студентов является исследуемой функцией. Разобьем диапазон значений представленной выборки на 10 одинаковых интервалов. Для этого:
11. Скачать презентацию

Слайд 2

Нормальный закон распределения
Для получения закона распределения любой случайной величины У, ее

необходимо неоднократно измерить. Пусть в эксперименте проведено n-ое количество замеров выходного параметра Уi, который зависит от одного, либо от нескольких входных параметров-аргументов Хi.
Каждое значение Уi, в силу разных причин, может отличаться от других его значений.

Слайд 3

Дисперсией σ2 называют характеристику, которая определяет кучность (разброс) значений Уi относительно

Му. При n → ∞ σ2 можно рассчитать по формуле:

Математическим ожиданием Му называется наиболее вероятное значение величины У
при n → ∞ :

Важнейшими характеристиками закона распределения являются математическое ожидание Му и дисперсия σ2.

Слайд 4

По значениям Уi можно построить график функции распределения F(у). Для этого

по горизонтальной оси отложим значения Уi, а по вертикали – относительное количество опытов mk/n, в которых замеренное значение Уi оказалось меньше заданного значения Уk.

Функции распределения F(у) является интегральной функцией.
При Уk = -∞ mk/n = 0;
при Уk = ∞ mk/n = 1.
Вероятность того, что измеряемое значение Уi окажется в интервале от У1 до У2, можно определить по формуле:

р(У1≤Уi≤У2) = F(У2) –F(У1)

Слайд 5

Более наглядно закон распределения можно представить с помощью плотности распределения f(У),

которая является дифференциальной функцией и связана с F(У) зависимостью:

Если выходной параметр Уi (функция) можно рассматривать как сумму достаточно большого числа случайных величин Хi (аргументов), то данная величина также является случайной и обычно подчиняется нормальному закону распределения.

Кривую f(У) для нормального закона распределения можно построить с помощью уравнения Гаусса:

Слайд 6

При изменении параметра Му форма нормальной кривой не изменяется. В этом случае, если

математическое ожидание Му уменьшилось или увеличилось, график нормальной кривой сдвигается влево или вправо .

Му1<Му2<Му3

При изменении параметра σ изменяется форма нормальной кривой. Если σ увеличивается, то максимальное значение функции f(x) убывает, и наоборот, так как площадь, ограниченная кривой распределения и осью Ох, должна быть постоянной и равной 1.

σ – среднеквадратичное отклонение

Слайд 7

Для реального эксперимента, т.е для случая, когда количество замеров Уi значительно

меньше ∞, имеют дело с выборкой значений Уi. В этом случае вместо математического ожидания Му используется среднее арифметическое от :

а дисперсия обозначается символом S2 и определяется по формуле:

Знаменатель (n-1) называется числом степеней свободы и обозначается символом f.
Числитель называется суммой квадратов отклонений и обозначается SS. Тогда:
S2 = SS/f

Слайд 8

Рассмотрим пример. Пусть задана выборка значений роста группы студентов:
Требуется построить для

этой выборки функцию распределения и плотность распределения, а также рассчитать ее дисперсию.

Для наглядности отобразим выборку графически:

Слайд 9

Рост студентов является исследуемой функцией. Разобьем диапазон значений представленной выборки на

10 одинаковых интервалов. Для этого:
1. Определим размах диапазона:
R = ymax – ymin = 192 -159 = 33.
Рассчитаем шаг интервала: h = R/10 = 3,3.
Заполним таблицу:

Где угрi – верхняя граница i-того интервала;
Σni – количество студентов, чей рост меньше угрi;
ni – количество студентов, чей рост соответствует i-той группе;
F(y)= Σni/n – функция распределения;
f(y)= ni/n – плотность распределения.