Степени вершин графа. (Лекция 15)

вершины имеют одинаковую степень,
то в этом графе либо в точности одна вершина степени 0,
либо в точности одна вершина степени (n-1).
Решение. Допустим противное.
1) В графе ровно две вершины одинаковой степени, и это вершины степени 0. Тогда, удалив из графа эти изолированные вершины, получим граф, степени всех вершин которого различны, что невозможно по теореме 3.
2) Если же в графе ровно две вершины одинаковой степени, и это вершины степени (n-1), то перейдя к дополнению , получим противоречие, аналогично пункту 1).

(13;22;3;5);
3) (0;1;2;3;42);
4) (12;23;32;4);
5) (12;32;4).
Решение.
1) Не существует, так как все степени различные (смотри теорему 7).
2) Не существует, так как число вершин нечетной степени нечетно, а именно 5 ( смотри теорему 6).
3) Не существует(смотри задачу 1).
4) Построим граф, имеющий данную степенную последовательность
5) Не существует, так как, соединив вершину степени 4 с четырьмя из оставшихся вершин, убеждаемся, что для вершин степени 3 не достаточно смежных вершин.

вершинный однородный граф степени n-1.
Решение.
а) Многоугольник с n вершинами.
б) Полный n вершинный граф.