Основные законы распределения случайных величин

Интегральная функция распределения имеет вид:

F(x) = ∫ f(x)dx =

x
-∞

Графиком дифференциальной функции нор-мального распределения f(x) является нормаль-ная кривая или кривая Гаусса.

x +∞

ось Ox – горизонтальная
асимптота

3. y′ =

; y′ = 0

x0 = a

x

a

y′ > 0

y′ < 0

max

5. Точки x = a + σ – абсциссы точек перегиба графика f(x)

yперег.=

f(x) = φ(x) =

))

Теорема 2. Вероятность того, что абсолютная величина отклонения НСВ Х от ее матем. oжи-дания не превзойдет α (α > 0), равна:

P( X – M(X) < α ) = Φ (

)

Следствие из теоремы 2 (правило трех сигм).

Если НСВ Х распределена нормально, то абсо-лютная величина ее отклонения от математи-ческого ожидания не превосходит утроенного

) = Φ ( 3 ) = 0.9973 ≈ 1

или

P ( X – M(X)

< 3σ ) ≈ 1.

Пример. НСВ Х, подчиненная ЗНР, имеет матем. ожидание, равное 100 м , и среднее ква-дратическое отклонение 5 м. С вероятностью 0.9973 определить границы распределения СВ Х.

c, d - ?

По теореме 2:

P( X – M(X) < α )= Φ

(

)

= 0.9973

Φ( ) = Φ(3)

= 3

Отсюда α = 3σ = 3* 5 = 15.

Так как

Х – а ≤ α,

то

Х – 100 ≤ 15 или

- 15 ≤ Х – 100 ≤ 15,

100 – 15 ≤ Х ≤ 100 + 15;

85 ≤ Х ≤ 115.

Нормальное распределение СВ возникает в тех случаях, когда:

3) отсутствует доминирующий фактор, т.е. ни один фактор по своему воздействию на СВ не преобладает над остальными.

Центральная предельная теорема Ляпунова

Теорема. При выполнении общих условий, таких как:

Xj – M(X) < δ,

D(Xj) ≤ C , C = const, ( j = 1, N )

Биномиальное распределение

Если дискретная СВ Х – число наступлений со-бытия А в n независимых испытаниях, проводи-

мых в одинаковых условиях с одной и той же вероятностью события А в каждом испытании, то эта СВ Х распределена по биномиальному закону.

СВ Х , распределенная по биномиальному зако-ну, принимает значения 0,1, 2, 3, …, n с вероят-

Дисперсия:

D(X) = npq

Распределение Пуассона

ДСВ Х распределена по закону Пуассона, если она принимает счетное множество значений: 0, 1, 2,…, n, ... с вероятностями:

биномиальное распределение стремится к распределению Пуассона с параметром а, где

a = np = const

Так как число испытаний велико, а вероятность события А очень мала, близка к нулю, то иног-да закон Пуассона называют законом редких явлений.

Задача. Вероятность того, что студент женится на первом курсе, равна 0.002. Найти вероятность того

что из 500 студентов на первом курсе женятся 6 студентов.

Дано:

n =500

p = 0,002

m = 6

Pm = ?

a = np = 500*0,002 = 1

Pm = am*

= 16*

=

= 0,00051

Простейший поток событий

Определение. Последовательность событий, наступающих в случайные моменты времени, называется потоком событий.

Определение. Поток событий называется про-стейшим, если он обладает свойствами стаци-онарности, отсутствия последействия и ординарности.

1. Свойство стационарности означает, что вероятность появления k событий за проме-

2. Свойство отсутствия последействия означает, что вероятность появления k событий за проме-жуток времени (t,t+Δt) не зависит от того, сколь-

ко событий произошло до момента t.

3. Свойство ординарности означает, что за малый промежуток времени практически

невозможно появление двух или более событий в потоке.

Определение. Среднее число появлений событий за промежуток времени называется интенсивно-

СВ Х – число появлений событий в простейшем потоке за промежуток времени t имеет распределение Пуассона с параметром

a = λt

Условие возникновения простейшего потока (Хинчин):

Сумма большого числа независимых стацио-

Задача. Интенсивность звонков на станцию скорой помощи – 2 звонка в минуту. Найти вероятность того, что за 3 минуты:

а) будет 5 звонков; б) ни одного звонка; в) хотя бы один звонок.

Дано:

λ = 2,

t = 3,

P = ?

Решение:

a = λt = 2∙3 = 6.

a)

=0,9975.

распределения

C при х € [a; b],

где С = const

f (x) =

0 при х € [a; b].

По свойству плотности распределения f (x):

∫ f(x)dx = 1

∫ f(x)dx =

∫ f(x)dx

+∫ f(x)dx+

∫ f(x)dx=

C(b – a) = 1.

Отсюда

C =

f (x) =

при х € [a; b],

0 при х € [a; b].

F(x) = ∫ 0dx

= 0.

=

∫ 0dx +∫ dx

=

0+

x│

=

=

F(x)= ∫ 0dx +∫ dx +∫ 0dx

Если х > b, то

=

│

F(x) =

0 при x < a,

при a ≤ x ≤ b,

1 при x > b.

│

=

D(X)= ∫ x2f(x)dx –(M(X))2

=∫ dx - =

Теорема. Вероятность того, что СВ Х, равномерно

распределенная на отрезке [a;b], примет значения,

P( α ≤ X ≤ β ) =

Равномерное распределение имеет СВ Х:

- показание прибора, имеющего шкалу;

-      время ожидания пассажиром автобуса с
точным интервалом движения и т. п.

Задача. Реклама на канале TV появляется через

каждые 15 минут и продолжается в течение 2 мин.

Найти вероятность того, что телезритель, включив

не более 13 минут; б) не более 3 минут.

Дано:

а = 0

b = 13

a) P(8 ≤ X ≤ 13)=?

б) P(0 ≤ X ≤ 3)=?

СВ Х – время без рекламы

f (x)=

P(8 ≤ X ≤ 13)=

P(0 ≤ X ≤ 3)=

деления. Найти вероятность того, что при снятии

показания прибора будет допущена ошибка изме-

рения, не превышающая 0,02.

Дано:

a = 0

b = 0,1

α = 0

β = 0,02

P(A)=?

СВ Х – истинное показание прибора

A = { ошибка ≤ 0,02 }

f (x) =

P(A)=

P(0 ≤ X ≤ 0,02)+

P(0,08 ≤ X ≤ 0,1)=

0,2 + 0,2 = 0,4

распределения

f (x) =

0 при х < 0,

λe –λx при х ≥ 0,

где λ > 0 – параметр показательного распреде- ления.

График плотности распределения f (x):

- ∫х e –λx d(-λx) =

= - ∫х d(e –λx) =

lim( - x e –λx│+ ∫e –λx dx) =

b ∞

0 +

= .

Итак,

M(X) = ,

D(X) = ,

σ(X) =

Интегральная функция показательного распределения СВ Х – функция F(x):

F(x) = P(X < x) = ∫ f(x)dx.

= - e –λx│=

1 - e –λx.

F(x) =

0 при х < 0,

1 - e –λx при х ≥ 0.

F(x)

1

промежутка [а; b], равна:

P(a ≤ X ≤ b)=F(b)–F(a) =

1 - e –λb–(1- e –λa)=

e –λa- e –λb

P(a ≤ X ≤ b) = e –λa- e –λb

Задача. Среднее время безотказной работы

телевизора 8 лет. Найти вероятность того, что вре-

мя работы телевизора без ремонта будет не менее

6, но не более 10 лет.

СВ Х – время безотказной работы -

имеет показательное распределение

P(a ≤ X ≤ b) = e –λa - e –λb =

= e

- e

= 0,1859

Показательное распределение имеет НСВ Х – промежуток времени между двумя последователь-

ными событиями в простейшем потоке, например,

промежуток времени между двумя автобусами

поломками прибора и т.п. Тогда параметр λ – это

интенсивность потока автобусов этого маршрута,

интенсивность звонков, интенсивность поломок и т.д.

По определению
F(x) = P(X < x),

то есть вероятность того, что событие произойдет раньше, чем наступит момент времени х.

Событие X > x означает, что событие произойдет после наступления момента х, и является

Отсюда:

P(X > x) = 1 - P(X < x) =

1 – F(x) =1–(1– e –λx) =

e –λx

Функция

R(x) = 1 – F(x) = e –λx

называется функцией надежности, так как

R(x) = P(X > x)

- это вероятность того, что событие (например, поломка) не произойдет до наступления момента х.