Сумма n-первых членов арифметической прогрессии

Сентябрь 14, 2022

Главная
Математика
Сумма n-первых членов арифметической прогрессии

Содержание

2. Цель урока: Вывести формулу суммы n-членов арифметической прогрессии, выработать навыки непосредственного применения данной формулы.
3. Задачи урока: Учебная: познакомить учащихся с формулой суммы n-первых членов арифметической прогрессии. Воспитательная: воспитывать интерес к
4. Из истории математики: С формулой суммы n первых членов арифметической прогрессии был связан эпизод из жизни
5. Когда ему было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую
6. Как Гауссу удалось так быстро сосчитать сумму такого большого количества чисел?
7. Попытаемся найти ответ на данный вопрос.
8. Вот схема рассуждений Гаусса. Сумма чисел в каждой паре 41. Таких пар 20, поэтому искомая сумма
9. аn) – арифметическая прогрессия. Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + … +
10. А теперь подобно Гауссу решим задачу о нахождении суммы натуральных чисел от 1 до 40.
11. Тренировочные упражнения: 1. (an) – арифметическая прогрессия. a1 = 6, a5 = 26. Найти S5.
12. Решение: Sn = (а1+а5) : 2 × 5 Теперь вычислим сумму пяти первых членов арифметической прогрессии:
13. 2. (an) – арифметическая прогрессия. a1 = 12, d = - 3. Найти S16.
14. Решение: S16 = (а1+а16):2×16 Заметим, что в данной прогрессии не задан последний член этой суммы. Найдем
15. В заключение вспомним строки А. С. Пушкина из романа «Евгений Онегин», сказанные о его герое: «…не
17. Скачать презентацию

Слайд 2

Цель урока:
Вывести формулу суммы n-членов арифметической прогрессии, выработать навыки непосредственного применения

данной формулы.

Слайд 3

Задачи урока:
Учебная: познакомить учащихся с формулой суммы n-первых членов арифметической прогрессии.
Воспитательная:

воспитывать интерес к истории математики.
Развивающая: развивать любознательность и вычислительные навыки.

Слайд 4

Из истории математики:
С формулой суммы n первых членов арифметической прогрессии

был связан эпизод из жизни немецкого математика К. Ф. Гаусса (1777 – 1855).

Слайд 5

Когда ему было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других

классов, задал на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму натуральных чисел от 1 до 40 включительно: 1 + 2 + 3 + … +40. Каково же было удивление учителя, когда один из учеников (это был Гаусс) через минуту воскликнул: «Я уже решил…»
Большинство учеников после долгих подсчетов получили неверный результат. В тетради Гаусса было написано одно число и притом верное.

Слайд 6

Как Гауссу удалось так быстро сосчитать сумму такого большого количества чисел?

Слайд 7

Попытаемся найти ответ на данный вопрос.

Слайд 8

Вот схема рассуждений Гаусса.
Сумма чисел в каждой паре 41. Таких пар

20, поэтому искомая сумма равна
41×20 = 820.
Попытаемся понять как ему это удалось. Выведем формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Слайд 9

аn) – арифметическая прогрессия. Sn = a1 + a2 + a3 +

a4 + … + an-1 + an, Sn = an + an-1 +an-2 + an-3 + … =a2 + a1 a2 + an-1 = (a1 + d) + (an – d) = a1 + an, a3 + an-2 = (a2 + d) + (an-1 – d) = a2 + an-1 = a1 + an, a4 + an-3 = (a3 + d) + (an-2 – d) = a3 + an-2 = a1 + an и т.д. 2Sn = (a1 + an)n. – формула суммы n первых членов арифметической прогрессии.(записать в тетрадь) Sn = (a1 + an)n : 2 , an = a1 + d(n – 1) Sn = (a1 + a1 + d(n-1))n : 2 = (2a1 + d(n – 1))n : 2 – формула суммы n первых членов арифметической прогрессии. (записать в тетрадь)

Слайд 10

А теперь подобно Гауссу решим задачу о нахождении суммы натуральных чисел

от 1 до 40.

Слайд 11

Тренировочные упражнения:
1. (an) – арифметическая прогрессия.
a1 = 6, a5 = 26.

Найти S5.

Слайд 12

Решение: Sn = (а1+а5) : 2 × 5 Теперь вычислим сумму пяти

первых членов арифметической прогрессии: S5 = (6+26) : 2 × 5=80. Ответ: 80.

Слайд 13

2. (an) – арифметическая прогрессия. a1 = 12, d = - 3.

Найти S16.

Слайд 14

Решение: S16 = (а1+а16):2×16 Заметим, что в данной прогрессии не задан

последний член этой суммы. Найдем 16 член прогрессии: а16 = 12+ 15×(-3) =12+(-45) =-33 Теперь вычислим сумму: S16 = (12+ (-33)) ×16: 2 = (-21) ×8 = -168. Ответ: -168. При решении таких задач можно воспользоваться второй формулой S16 =(2а1 +d( n -1)):2×16 =(2×12+15×(-3)):2×16 =-21:2×16 = -168. Ответ: - 168.

Слайд 15

В заключение вспомним строки А. С. Пушкина из романа «Евгений Онегин»,

сказанные о его герое: «…не мог он ямба от хорея, как мы не бились, отличить». Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха. Ямб – стихотворный метр с ударениями на четных слогах стиха (Мой дядя самых честных правил…), то есть ударными являются 2-й, 4-й, 6-й, 8-й и т. д. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и с разностью, равной двум: 2, 4, 6, 8, … Хорей – стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха. (Буря мглою небо кроет…) Номера ударных слогов также образуют арифметическую прогрессию, но ее первый член равен единице, а разность по-прежнему равна двум: 1, 3, 5, 7, … .