Тема: «Построение графика неявно заданной функции на примере лемнискаты Бернулли» Проект Гузь Ольги

Август 25, 2022

Главная
Математика
Тема: «Построение графика неявно заданной функции на примере лемнискаты Бернулли» Проект Гузь Ольги

Содержание

2. Содержание. 1.Определение функции заданной неявно. 2.Определение лемнискаты. 3.Вывод уравнения лемнискаты. 4.Преобразование уравнения лемнискаты. 5.Уравнение лемнискаты в
3. Определение неявно заданной функции Рассмотрим функцию, заданную неявно уравнением F(x ,y)=0. В зависимости от того, какой
4. Лемниската – это кривая, у которой произведение расстояний каждой ее точки до двух заданных точек- фокусов
5. Пусть фокусы имеют координаты: F1(-a;0) и F2 (а;0); М(х, у) - произвольная точка геометрического места, то
6. Преобразование уравнения лемнискаты Дальнейшая цель- получить уравнение лемнискаты Бернулли в более простом виде. Возводя в квадрат
7. Преобразование уравнения лемнискаты Преобразуя последнее уравнение, имеем: или в окончательном виде Мы получили уравнение лемнискаты в
8. Построение графика лемнискаты Т.к х и у входят в это уравнение только в чётных степенях, то
9. Уравнение лемнискаты в полярной системе координат Поскольку х =ρ cos φ, у = ρ sinφ, х2+у2=
10. ρ 2=2а2 cos2φ Из этого уравнения видно, что при φ=0. Если φ увеличивается в пределах от
11. Построение лемнискаты Построим график функции при разных значениях а: при а=1
12. Построение лемнискаты
13. Построение лемнискаты при а=-0,5
14. При построении кривых семейства овалов Кассини, промежуточным графиком является лемниската Бернулли. 1. 2. 3. 4. Фигура
15. В технике лемниската применяется, в частности, в качестве переходной кривой на закруглениях малого радиуса, как это
16. Существует два способа построения лемнискаты. Первый способ - с помощью двух угольников и нарисованной на листе
17. Второй способ - с помощью шарнирного устройства, две точки которого закреплены на плоскости (рис.3). Способы построения
18. Лемниската Бернулли. Ее автор – швейцарский математик Якоб Бернулли. Он дал этой кривой поэтическое название «лемниската».
19. БЕРНУЛЛИ Якоб I (1654-1705). Швейцарский математик. Работал в Базельском университете. Работы посвящены математическому анализу, теории вероятностей
20. ♣ Вирченко Н.А. и др.Справочник «Графики функций»; Киев: Наук. думка, 1979г; ♣ И.И.Валуцэ «Математика для техникумов»;
22. Скачать презентацию

Слайд 2

Содержание.
1.Определение функции заданной неявно.
2.Определение лемнискаты.
3.Вывод уравнения лемнискаты.
4.Преобразование уравнения лемнискаты.
5.Уравнение лемнискаты в

полярной системе координат.
6.Исследование уравнения лемнискаты.
7.Построение лемнискаты.
8. Применение лемнискаты.
9.Краткая историческая справка.

Слайд 3

Определение неявно заданной функции
Рассмотрим функцию, заданную неявно уравнением F(x ,y)=0.
В зависимости

от того, какой является функция F(x ,y)-алгебраической или трансцендентной,- кривые также делятся на алгебраические и трансцендентные.
Примеры, лемниската Бернулли.

Слайд 4

Лемниската –
это кривая, у которой произведение расстояний каждой

ее точки до двух заданных точек- фокусов -постоянно и равно квадрату половины расстояния между ними.

Определение лемнискаты

Слайд 5

Пусть фокусы имеют координаты: F1(-a;0) и F2 (а;0); М(х, у)

- произвольная точка геометрического места,
то по условию
Подставляя в это равенство выражения
получим искомое уравнение данного геометрического места

Вывод уравнения лемнискаты

Слайд 6

Преобразование уравнения лемнискаты
Дальнейшая цель- получить уравнение лемнискаты Бернулли в более простом

виде.
Возводя в квадрат обе части уравнения и группируя члены, находим
отсюда

Слайд 7

Преобразование уравнения лемнискаты
Преобразуя последнее уравнение, имеем:
или в окончательном виде
Мы получили уравнение

лемнискаты в декартовой системе координат.

Слайд 8

Построение графика лемнискаты
Т.к х и у входят в это уравнение только

в чётных степенях, то лемниската симметрична относительно координатных осей.
Построить график данной функции затруднительно.
Запишем это же уравнение в полярной системе координат.

Слайд 9

Уравнение лемнискаты в полярной системе координат
Поскольку х =ρ cos φ, у

= ρ sinφ, х2+у2= ρ2, то уравнение лемнискаты в полярных координатах примет вид
ρ 4=2а2 ρ(cos2φ- sin2φ)
или
ρ 2=2а2 cos2φ.

Слайд 10

ρ 2=2а2 cos2φ
Из этого уравнения видно, что
при φ=0. Если φ увеличивается

в пределах
от 0 до , то ρ уменьшается от до ρ=0.
Если , то ρ принимает мнимые
значения. Это означает, что на лемнискате нет точек, для которых φ меняется в указанных пределах.

Исследование уравнения лемнискаты

Слайд 11

Построение лемнискаты
Построим график функции
при разных значениях а:
при а=1

Слайд 12

Построение лемнискаты

Слайд 13

Построение лемнискаты
при а=-0,5

Слайд 14

При построении кривых семейства овалов Кассини, промежуточным графиком является лемниската Бернулли.
1.

2. 3. 4.
Фигура выпуклая как эллипс.
Появляется вогнутая перемычка с четырьмя точками перегиба.
Перемычка смыкается, полученная фигура называется лемнискатой Бернулли.
Фигура разваливается на два овала.

Построение

Слайд 15

В технике лемниската применяется, в частности, в качестве переходной кривой на

закруглениях малого радиуса, как это имеет место на железнодорожных линиях в горной местности и на трамвайных путях.

Применение:

Слайд 16

Существует два способа построения лемнискаты.
Первый способ - с помощью
двух

угольников и нарисованной на листе бумаги окружности (рис.2).Вершина острого угла одного из угольников находится в центре окружности, вершина прямого угла другого -на окружности.

Способы построения лемнискаты

Рис.2

Слайд 17

Второй способ - с помощью шарнирного устройства, две точки которого закреплены

на плоскости (рис.3).

Способы построения лемнискаты

Рис.3

Слайд 18

Лемниската Бернулли.
Ее автор – швейцарский математик Якоб Бернулли. Он дал этой

кривой поэтическое название «лемниската».
В античном Риме так называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх.

Историческая справка

Слайд 19

БЕРНУЛЛИ Якоб I (1654-1705). Швейцарский математик. Работал в Базельском университете.
Работы посвящены

математическому анализу, теории вероятностей и механике. В 1687 познакомился с первым мемуаром Лейбница по дифференциальному исчислению и применил его идеи к изучению ряда кривых, встречающихся в математике, механике, и выводу формулы радиуса кривизны плоской кривой. Ввел термин «интеграл».

Краткая биография

Слайд 20

♣ Вирченко Н.А. и др.Справочник «Графики функций»; Киев: Наук. думка, 1979г;
♣

И.И.Валуцэ «Математика для техникумов»; Москва, Издательство «Наука», 1980г;
♣ Маркушевич А.И. «Замечательные кривые»; Москва 1978 г.

Список использованной литературы

Тема: «Построение графика неявно заданной функции на примере лемнискаты Бернулли» Проект Гузь Ольги

Содержание

Определение неявно заданной функцииРассмотрим функцию, заданную неявно уравнением F(x ,y)=0.В зависимости

Лемниската – это кривая, у которой произведение расстояний каждой

Пусть фокусы имеют координаты: F1(-a;0) и F2 (а;0); М(х, у)

Преобразование уравнения лемнискатыДальнейшая цель- получить уравнение лемнискаты Бернулли в более простом

Преобразование уравнения лемнискатыПреобразуя последнее уравнение, имеем:или в окончательном видеМы получили уравнение

Построение графика лемнискатыТ.к х и у входят в это уравнение только

Уравнение лемнискаты в полярной системе координатПоскольку х =ρ cos φ, у

ρ 2=2а2 cos2φИз этого уравнения видно, чтопри φ=0. Если φ увеличивается

Построение лемнискатыПостроим график функции при разных значениях а: при а=1