Теорема Піфагора

другий – поділ відрізка в середньому та крайньому відношенні… Перший можна порівняти з мірою золота, другий більше нагадує коштовний камінь.” І. Кеплер

на рівновеликі площі;
метод доповнення;
алгебраїчні доведення;
метод подібності;
векторний метод.
Узагальнення теореми Піфагора.
Застосування теореми Піфагора.
Тестові завдання.
Цікаві задачі

Зміст

про неї говорять про те, що Піфагор навчався математиці у єгипетських жреців. Рівність 32 + 42 = 52 була відома єгиптянам ще біля 2300 року до н.е. в часи царя Аменемхета І.
Єгипетські гарпедонапти – землеміри – використовували мотузку, поділену на 12 рівних частин. Якщо з неї скласти трикутник зі сторонами 3, 4 і 5 частин, то кут між сторонами по 3 і 4 частини, буде прямим. Таким чином, теорема, яку ми називаємо іменем Піфагора, була відома набагато раніше до нього. У вавилонянських текстах, які історики відносять до часів Хаммурабі (близько 2000 року до н.е.) наводиться наближене обчислення гіпотенузи прямокутного трикутника.

про трикутник зі сторонами 3, 4 і 5: “Якщо прямий кут розкласти на складові частини, то лінія, яка сполучає кінці його сторін, буде 5, тоді основа є 3, а висота 4”. В цій же книзі подано малюнок, якій співпадає з одним із креслень індуської геометрії Басхари.

Геометрія в індусів була тісно пов'язана з культом. Майже достовірно відомо, що теорема про квадрат гіпотенузи була відома в Індії вже біля 18 століття до н.е. Про це свідчить запис, який міститься в “Сутрах”: “Квадрат діагоналі прямокутника дорівнює сумі квадратів його більшої та меншої сторін. Квадрат, побудований на діагоналі, вдвічі більше самого квадрата”

була відкрита Піфагором, проте, дехто вважає, що Піфагор перший дав її повноцінне доведення.
За словами голландського математика Ван-дер-Вадена, заслугою перших грецьких математиків, таких як Фалес, Піфагор та піфагорійці, є не відкриття математики, проте її систематизація та обґрунтування. В їх руках обчислювальні рецепти, засновані на смутних уявленнях, перетворилися в точну науку.”
Найпростіше її доведення можна побачити на малюнку.

опанувати його могли далеко не всі учні. Тому учні, які не мали достатньої математичної підготовки , виучували доведення на пам'ять без розуміння його. Їх прозвали “віслюками”, для яких ця теореми була нездоланним містком. Дуже багато хто з учнів малював шаржі , схожі на малюнки для доведення теореми.

Зміст

Мнесарха народився син. У легенді нічого не сказано про рік народження Піфагора; історичні дослідження датують його появу на світ приблизно 580 роком до нашої ери на острові Самос.  
Можливості дати сину гарну освіту та виховання у Мнесарха були. Майбутній математик та філософ вже в дитинстві виявив велику здатність до наук. У свого першого вчителя Гермодамаса Піфагор отримує знання основ музики та живопису.

Піфагор вирішує продовжити навчання в Єгипті, у жреців. Там відбувається знайомство Піфагора з філософом Ферекідом - другом Фалеса. У Ферекіда Піфагор навчається астрології, таємницям чисел, медицині та іншим обов’язковим на той час наукам. Звідти шлях Піфагора лежить у Мілет до відомого Фалеса, засновника першої в історії філософської школи. Навчання Піфагора в Єгипті сприяє тому, що він стає одним із найбільш освічених людей свого часу.     

все його майбутнє життя. Помер фараон Амазіс. Піддалися гонінням і жреці: їх вбивали або брали в полон. Так потрапив у персидський полон і Піфагор. Дванадцять років знаходився у вавилонському полоні Піфагор, доки його не звільнив персидський цар Дарій Гістасп, який прочув про відомого грека. Піфагору вже 60, він вирішує повернутися батьківщину. Тут і вирішує Піфагор створити власну філософську школу. Це був одночасно і релігійний союз, і політичний клуб, і наукове товариство. Учні цієї школи зобов’язувались вести так званий піфагорійській спосіб життя.     
...Пройшло 20 років після створення школи. Слава про неї рознеслася по всьому світу.

розвитку світу, що сприяло розвитку математичних, фізичних, астрономічних і географічних знань. В основі речей лежить число, учив Піфагор, пізнати світ - пізнати числа, що ним правлять.
Вивчаючи числа, вони розробили числові відношення, і знайшли їх у всіх областях людської діяльності. Числа і пропорції вивчалися для того, щоб пізнати і описати душу людини, а пізнавши, керувати процесом переселення душ.

Зміст

квадратів, побудованих на катетах прямокутного трикутника, дорівнює площі квадрата, побудованого на його гіпотенузі.

Існує кілька доведень теореми Піфагора, в яких квадрати, побудовані на катетах і гіпотенузі, поділяють на частини таким чином, що кожній частині квадрата, побудованого на гіпотенузі, відповідає така сама частина, побудована на одному з катетів. В усіх цих доведеннях достатньо одного лише погляду на малюнок, щоб побачити рівно великість цих частин.

ан-Найризій
(в перекладі на латинську – Анарицій)

квадрати, побудовані на гіпотенузі і катетах прямокутного трикутника, поділені лише на трикутники.
Для доведення слід зазначити, що пряма CD проведена перпендикулярно до прямої EF.

Доведення Перигаля

На малюнку ми бачимо доведення, яке знайшов Перигаль (його іноді називають “колесо с лопастями”). Через центр квадрата, побудованого на більшому з катетів, проводять прямі, одна з яких паралельна. А друга перпендикулярна гіпотенузі.

Доведення Гутхейля

8 5
2 3
1 4
7 6

Доведення Бехтера

Зміст

приклади доведень за допомогою віднімання рівних площ або іноді цей метод називають методом доповнення. Ідея цього метода полягає в тому, що від двох рівних площ треба відняти рівновеликі частини таким чином, щоб в одному випадку залишилися два квадрати, побудовані на катетах, а в другому – квадрат, побудований на гіпотенузі.
Одне з таких доведень зображено на малюнку.

Стілець нареченої

Цю фігуру, яка зустрічається в доведеннях теореми Піфагора близько ІХ ст. н.е., індуси називали “стільцем нареченої”. Спосіб побудови квадрату зі стороною, що дорівнює гіпотенузі, видно з малюнка. Спільна частина двох квадратів, побудованих на катетах, і квадрата, побудованого на гіпотенузі, - неправильний заштрихований п'ятикутник, нагадує стілець. Звідси назва.
На інших двох малюнках зображено схожі побудови, проте, розташування квадратів дещо інші.

Розглянемо ще кілька малюнків для доведення методом доповнення, а саме:
доведення Маррі (1887 р.);
доведення Рейхенбергера (1775 р.);
доведення, в якому за основу взято малюнок теореми Піфагора, якій взято до прямокутної рамки.

Зміст

з таких доведень міститься в одному з творів Бхаскари і містить в поясненні лише одне слово “Дивись!”

Інше схоже доведення запропонував Герфілд у 1882 році. В ньому достатньо подати пощу трапеції, зображеної на малюнку двома способами.

Ще одне алгебраїчне доведення запропонував англієць Хоукінс у 1909 році. Прямокутний трикутник повернуто на 900. Заштрихований чотирикутник розкладається на два рівнобедрені трикутники, розглянувши площі яких, отримаємо формули, якою виражається теорема Піфагора

Алгебраїчне доведення засноване на поданні площі чотирикутника двома способами навів Вальдхейм.

Зміст

ст.), також воно є в книзі “Практична геометрія” Леонардо Фібоначчі та у Валліса (ХVІІ ст.). У ХІХ-ХХ ст., йдучи по слідах Лежандра, більшість авторів шкільних підручників подають саме цей метод доведення теореми Піфагора.

С
А D B

З подібності трикутників АСD і САВ маємо:

З подібності трикутників DСВ і АВС маємо:

Додавши по частинах ці рівності, отримаємо:
АС2 + ВС2 = АВ(АD + DВ) = АВ2, або
АС2 + ВС2 = АВ2

Зміст

доведення

А
С В

Задамо на сторонах трикутника АВС вектори

Розглянемо скалярний квадрат вектора, побудованого на гіпотенузі

Оскільки

Зміст

квадратів на сторонах прямокутного трикутника побудувати довільні подібні між собою фігури. Причому, площі фігур, побудованих на катетах, позначити Sx та Sy, а на гіпотенузі – Sz, буде справедливою така рівність:
Sx + Sy = Sz

Зміст

та прямокутного паралелепіпеда;
Знаходження висоти піраміди та конуса;
Побудова перерізів куба та прямокутного паралелепіпеда;
При побудові перерізів конуса.

В математиці:
d
a
d b
a

тяжіння, розміщення опор, балок, тощо.
В будівлях готичного і романського стилю верхні частини вікон розділяють камінними ребрами, які додають їм міцності ;
Покриття площини рівними многокутниками (“паркетом”).

антени мобільного оператора для кращого зв'язку.
Радіосигнал від нашої цивілізації було передано в космос у вигляді теореми Піфагора;

Зміст

вітра подих її стовбур зламав.
Бідна тополя упала. І кут утворив прямий
Її стовбур із течією ріки
Дізнайся, що річка була у цьому місці 4 фути завширки
Верхівка торкнулася краю ріки
Лишилось від стовбура фута лише 3три.
Дізнайся скоріше, будь-ласка, скажи
Яка висота у тополі була?»

Зміст

чжан = 10 чи, росте очерет, якого видно над водою на 1 чи. Якщо потягнути очерет до берегу, то від торкнеться його. Питається: яка глибина ставка і яка довжина очереиа?

Зміст

драбину приладити, причому стіни тієї висота є 117 стоп. А драбина має довжину 125 стоп. Дійзнайся, кілька стоп від стіни має поставити нижний кінець людина.

Зміст

Верхівку його зігнули таким чином, що вона торкається землі на відстані 3 чи від його кореня.
(1 чжан = 10 чи).
Яка висота бамбука після згинання?

Зміст