Взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей. (Лекция 4.1)

Сентябрь 14, 2022

Главная
Математика
Взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей. (Лекция 4.1)

Содержание

2. План лекции 1
3. Взаимное расположение двух прямых Прямые в пространстве могут быть: пересекающимися; скрещивающимися; параллельными (в частном случае совпадать)
4. Пересекающиеся прямые 3
5. К1 К2 X Необходимое условие пересекающихся прямых: Достроить проекцию прямой СD, пересекающую заданную прямую AB A1
6. Скрещивающиеся прямые 5
7. Если прямые в пространстве скрещиваются, то точки пересечения их одноименных проекций не принадлежат одной линии связи.
8. Параллельные прямые 7
9. Если прямые в пространстве параллельны, то их одноименные проекции параллельны Достроить проекцию прямой AB, параллельную заданной
10. Параллельны ли заданные прямые? X Z Y B1 B2 A1 D1 C1 D2 C2 A2 A3
11. Перпендикулярные прямые. Теорема о проекциях прямого угла «Прямой угол проецируется на плоскость проекций в натуральную величину,
12. Теорема о проекциях прямого угла П1 D1 D К1 Дано: Доказать: Доказательство: Q Е К Е1
13. Взаимное расположение прямой и плоскости Прямая и плоскость в пространстве могут быть: параллельными; перпендикулярными; пересекающимися 12
14. Параллельность прямой и плоскости Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, принадлежащей этой плоскости. 13
15. X А2 В2 А1 В1 С2 С1 Задача. Построить недостающую проекцию прямой МN, параллельной плоскости {ΔАВС}.
16. Перпендикулярность прямой и плоскости Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим этой плоскости.
17. Пересечение прямой и плоскости Задачи на определение взаимной принадлежности и пересечения двух и более геометрических объектов
18. Пересечение прямой и плоскости 17
19. Алгоритм решения: 1. Через прямую ввести вспомогательную проецирующую плоскость ; 2. Найти линию пересечения вспомогательной плоскости
20. Задача. Определить точку пересечения прямой (EF) и плоскости {ΔABC}. X А2 В2 А1 В1 С2 С1
21. Пересечение прямой общего положения и проецирующей плоскости 20
22. Пересечение плоскости общего положения и проецирующей прямой 21
23. Взаимное расположение двух плоскостей Плоскости в пространстве могут быть: параллельными; перпендикулярными (частный случай пересечения); пересекающимися 22
24. Параллельность двух плоскостей Признак параллельности: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой
25. X А2 В2 А1 В1 С2 С1 Задача. Через точку М провести плоскость, параллельную плоскости {ΔАВС}.
26. Признак перпендикулярности: Если одна из плоскостей проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
27. Пересечение плоскостей 26
28. Определение линии пересечения двух плоскостей 27
29. Определение линии пересечения двух плоскостей X А2 В2 А1 В1 С2 С1 Дано: ΔАВС: А(120, 15,
30. Определение линии пересечения плоскости общего положения и проецирующей плоскости X А2 В2 А1 В1 С2 С1
31. Определение линии пересечения проецирующих плоскостей X А2 В2 А1 В1 С2 С1 Дано: {ΔАВС}⊥П1; {ΔDEF} ⊥П1.
33. Скачать презентацию

Слайд 2

План лекции
1

Слайд 3

Взаимное расположение двух прямых
Прямые в пространстве могут быть:
пересекающимися;
скрещивающимися;
параллельными
(в

частном случае совпадать)
перпендикулярными
(частный случай пересечения)

Слайд 4

Пересекающиеся прямые
3

Слайд 5

К1
К2
X
Необходимое условие пересекающихся прямых:
Достроить проекцию прямой СD, пересекающую заданную прямую AB
A1
A2
B1
B2
C1
C2
D1
D2
Если

прямые в пространстве пересекаются, то проекции точки пересечения лежат на одной линии связи.

Достаточное условие пересекающихся прямых:

Если точки пересечения одноименных проекций прямых принадлежат одной линии связи, то прямые в пространстве пересекаются.

Слайд 6

Скрещивающиеся прямые
5

Слайд 7

Если прямые в пространстве скрещиваются, то точки пересечения их одноименных проекций

не принадлежат одной линии связи.

Достроить проекцию прямой EF, скрещивающейся с заданной прямой AB

11=21

32=42

Необходимое условие скрещивающихся прямых:

Достаточное условие скрещивающихся прямых:

Если точки пересечения одноименных проекций двух прямых не принадлежат одной линии связи, то прямые в пространстве скрещиваются.

Слайд 8

Параллельные прямые
7

Слайд 9

Если прямые в пространстве параллельны, то их одноименные проекции параллельны
Достроить проекцию

прямой AB, параллельную заданной прямой CD

Слайд 10

Параллельны ли заданные прямые?
X
Z
Y
B1
B2
A1
D1
C1
D2
C2
A2
A3
B3
C3
D3
Вывод:
Прямые AB и CD не параллельны.
9

Слайд 11

Перпендикулярные прямые.
Теорема о проекциях прямого угла
«Прямой угол проецируется на плоскость проекций

в натуральную величину, если одна его сторона параллельна этой плоскости проекций, а вторая ей
не перпендикулярна»

К1

П1

Е1

Слайд 12

Теорема о проекциях прямого угла
П1
D1
D
К1
Дано:
Доказать:
Доказательство:
Q
Е
К
Е1
11

Слайд 13

Взаимное расположение прямой и плоскости
Прямая и плоскость в пространстве могут быть:

параллельными;
перпендикулярными;
пересекающимися

Слайд 14

Параллельность прямой и плоскости
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой,

принадлежащей этой плоскости.

Слайд 15

X
А2
В2
А1
В1
С2
С1
Задача. Построить недостающую проекцию прямой МN, параллельной плоскости {ΔАВС}.
М2
М1
Алгоритм решения:
1.

В плоскости {ΔАВС} провести прямую (A1) параллельную заданной прямой MN;

2. Через точку М провести прямую (МN), параллельную прямой (А1);

Слайд 16

Перпендикулярность прямой и плоскости
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся

прямым, принадлежащим этой плоскости.

Слайд 17

Пересечение прямой и плоскости
Задачи на определение взаимной принадлежности и пересечения двух

и более геометрических объектов называются позиционными.

Слайд 18

Пересечение прямой и плоскости
17

Слайд 19

Алгоритм решения:
1. Через прямую ввести вспомогательную проецирующую плоскость ;
2.

Найти линию пересечения вспомогательной плоскости с заданной;

Определение точки пересечения прямой и плоскости

3. Определить точку пересечения построенной линии с заданной;

4. Определить видимость заданных объектов .

Слайд 20

Задача. Определить точку пересечения прямой (EF) и плоскости {ΔABC}.
X
А2
В2
А1
В1
С2
С1
E2
E1
Дано:
{ΔАВС}: А(110, 70,

40),
В(50, 0, 70),
С(20, 40, 20) ;
(EF): E(90, 10, 20),
F(10, 70, 65);

1. Р: P⊥П2, (EF)ϵP;

К1

К2

Построить:

К={ΔАВС}∩(EF)

Решение:

Р2

2. (12)=Р∩{ΔАВС};

3. К=(12)∩(EF);

4. Определить видимость прямой (EF) с помощью конкурирующих точек.

=32

41=51

Слайд 21

Пересечение прямой общего положения и проецирующей плоскости
20

Слайд 22

Пересечение плоскости общего положения и проецирующей прямой
21

Слайд 23

Взаимное расположение двух плоскостей
Плоскости в пространстве могут быть:
параллельными;
перпендикулярными
(частный случай

пересечения);
пересекающимися

Слайд 24

Параллельность двух плоскостей
Признак параллельности:
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум

пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Слайд 25

X
А2
В2
А1
В1
С2
С1
Задача. Через точку М провести плоскость, параллельную плоскости {ΔАВС}.
М2
М1
Алгоритм решения:
1.

В плоскости {ΔАВС} выбрать две пересекающиеся прямые, например, (АВ) и (АС);

2. Через точку М провести прямые (МN) и (ML), параллельные выбранным прямым (АВ) и (АС), соответственно;

Пересекающиеся прямые (МN) и (ML) задают искомую плоскость.

Слайд 26

Признак перпендикулярности:
Если одна из плоскостей проходит через перпендикуляр к другой плоскости,

то эти плоскости перпендикулярны.

Перпендикулярность двух плоскостей

Слайд 27

Пересечение плоскостей
26

Слайд 28

Определение линии пересечения двух плоскостей
27

Слайд 29

Определение линии пересечения двух плоскостей
X
А2
В2
А1
В1
С2
С1
Дано:
ΔАВС: А(120, 15, 0),
В(70, 70, 50),

С (10, 35, 25);
ΔDEF: D(30, 70, 0)
Е (105, 10, 40),
F (60, 10, 60).

1. {Р}: (DE)ϵP, P⊥П1;

Построить:

(MN)=ΔАВС∩ΔDEF

Решение:

7. (MN) – искомая линия пересечения плоскостей;

Р1

2. (12)={Р}∩{ΔАВС};

3. М=(12)∩(DE);

4. {Q}: (DF)ϵQ, Q⊥П1;

5. (34)={Q}∩{ΔАВС};

6. N=(34)∩(DF);

8. Определить видимость плоскостей.

Слайд 30

Определение линии пересечения плоскости общего положения и проецирующей плоскости
X
А2
В2
А1
В1
С2
С1
Дано:
{ΔАВС};
{ΔDEF} ⊥П1.

1. Так как одна из заданных плоскостей горизонтально-проецирующая, то на горизонтальной плоскости проекций их общим элементом является прямая (MN), горизонтальная проекция которой совпадает с проекцией горизонтально-проецирующая плоскости {ΔDEF};

Построить:

(MN)={ΔАВС}∩{ΔDEF}

Решение:

3. Определить видимость плоскостей.

2. Фронтальная проекция строится по линиям связи.

Слайд 31

Определение линии пересечения проецирующих плоскостей
X
А2
В2
А1
В1
С2
С1
Дано:
{ΔАВС}⊥П1;
{ΔDEF} ⊥П1.
1. Так как заданные плоскости

горизонтально-проецирующие, то на горизонтальной плоскости проекций их общим элементом является горизонтально-проецирующая прямая (MN);

M1=N1

Построить:

(MN)={ΔАВС}∩{ΔDEF}

Решение:

2. Определить видимость плоскостей.

Взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей. (Лекция 4.1)

Содержание

План лекции1

Взаимное расположение двух прямыхПрямые в пространстве могут быть: пересекающимися; скрещивающимися; параллельными(в

Пересекающиеся прямые3

К1К2XНеобходимое условие пересекающихся прямых:Достроить проекцию прямой СD, пересекающую заданную прямую ABA1A2B1B2C1C2D1D2Если

Скрещивающиеся прямые5

Если прямые в пространстве скрещиваются, то точки пересечения их одноименных проекций

Параллельные прямые7

Если прямые в пространстве параллельны, то их одноименные проекции параллельныДостроить проекцию

Параллельны ли заданные прямые?XZYB1B2A1D1C1D2C2A2A3B3C3D3Вывод:Прямые AB и CD не параллельны.9

Перпендикулярные прямые.Теорема о проекциях прямого угла«Прямой угол проецируется на плоскость проекций

Теорема о проекциях прямого углаП1D1DК1Дано:Доказать:Доказательство:QЕКЕ111

Взаимное расположение прямой и плоскостиПрямая и плоскость в пространстве могут быть:

Параллельность прямой и плоскостиПрямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой,

XА2В2А1В1С2С1Задача. Построить недостающую проекцию прямой МN, параллельной плоскости {ΔАВС}.М2М1Алгоритм решения: 1.

Перпендикулярность прямой и плоскостиПрямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся

Пересечение прямой и плоскостиЗадачи на определение взаимной принадлежности и пересечения двух

Пересечение прямой и плоскости17

Алгоритм решения: 1. Через прямую ввести вспомогательную проецирующую плоскость ; 2.

Задача. Определить точку пересечения прямой (EF) и плоскости {ΔABC}.XА2В2А1В1С2С1E2E1Дано:{ΔАВС}: А(110, 70,

Пересечение прямой общего положения и проецирующей плоскости20

Пересечение плоскости общего положения и проецирующей прямой21

Взаимное расположение двух плоскостейПлоскости в пространстве могут быть: параллельными; перпендикулярными(частный случай

Параллельность двух плоскостейПризнак параллельности:Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум

XА2В2А1В1С2С1Задача. Через точку М провести плоскость, параллельную плоскости {ΔАВС}.М2М1Алгоритм решения: 1.

Признак перпендикулярности:Если одна из плоскостей проходит через перпендикуляр к другой плоскости,

Пересечение плоскостей26

Определение линии пересечения двух плоскостей27

Определение линии пересечения двух плоскостейXА2В2А1В1С2С1Дано:ΔАВС: А(120, 15, 0), В(70, 70, 50),

Определение линии пересечения плоскости общего положения и проецирующей плоскостиXА2В2А1В1С2С1Дано:{ΔАВС}; {ΔDEF} ⊥П1.

Определение линии пересечения проецирующих плоскостейXА2В2А1В1С2С1Дано:{ΔАВС}⊥П1;{ΔDEF} ⊥П1. 1. Так как заданные плоскости

Похожие презентации

План лекции
1

Взаимное расположение двух прямых
Прямые в пространстве могут быть:
пересекающимися;
скрещивающимися;
параллельными
(в

Пересекающиеся прямые
3

К1
К2
X
Необходимое условие пересекающихся прямых:
Достроить проекцию прямой СD, пересекающую заданную прямую AB
A1
A2
B1
B2
C1
C2
D1
D2
Если

Скрещивающиеся прямые
5

Параллельные прямые
7

Если прямые в пространстве параллельны, то их одноименные проекции параллельны
Достроить проекцию

Параллельны ли заданные прямые?
X
Z
Y
B1
B2
A1
D1
C1
D2
C2
A2
A3
B3
C3
D3
Вывод:
Прямые AB и CD не параллельны.
9

Перпендикулярные прямые.
Теорема о проекциях прямого угла
«Прямой угол проецируется на плоскость проекций

Теорема о проекциях прямого угла
П1
D1
D
К1
Дано:
Доказать:
Доказательство:
Q
Е
К
Е1
11

Взаимное расположение прямой и плоскости
Прямая и плоскость в пространстве могут быть:

Параллельность прямой и плоскости
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой,

X
А2
В2
А1
В1
С2
С1
Задача. Построить недостающую проекцию прямой МN, параллельной плоскости {ΔАВС}.
М2
М1
Алгоритм решения:
1.

Перпендикулярность прямой и плоскости
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся

Пересечение прямой и плоскости
Задачи на определение взаимной принадлежности и пересечения двух

Пересечение прямой и плоскости
17

Алгоритм решения:
1. Через прямую ввести вспомогательную проецирующую плоскость ;
2.

Задача. Определить точку пересечения прямой (EF) и плоскости {ΔABC}.
X
А2
В2
А1
В1
С2
С1
E2
E1
Дано:
{ΔАВС}: А(110, 70,

Пересечение прямой общего положения и проецирующей плоскости
20

Пересечение плоскости общего положения и проецирующей прямой
21

Взаимное расположение двух плоскостей
Плоскости в пространстве могут быть:
параллельными;
перпендикулярными
(частный случай

Параллельность двух плоскостей
Признак параллельности:
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум

X
А2
В2
А1
В1
С2
С1
Задача. Через точку М провести плоскость, параллельную плоскости {ΔАВС}.
М2
М1
Алгоритм решения:
1.

Признак перпендикулярности:
Если одна из плоскостей проходит через перпендикуляр к другой плоскости,

Пересечение плоскостей
26

Определение линии пересечения двух плоскостей
27

Определение линии пересечения двух плоскостей
X
А2
В2
А1
В1
С2
С1
Дано:
ΔАВС: А(120, 15, 0),
В(70, 70, 50),

Определение линии пересечения плоскости общего положения и проецирующей плоскости
X
А2
В2
А1
В1
С2
С1
Дано:
{ΔАВС};
{ΔDEF} ⊥П1.

Определение линии пересечения проецирующих плоскостей
X
А2
В2
А1
В1
С2
С1
Дано:
{ΔАВС}⊥П1;
{ΔDEF} ⊥П1.
1. Так как заданные плоскости