Теорема Виета для кубического уравнения

Июль 23, 2022

Главная
Математика
Теорема Виета для кубического уравнения

Содержание

2. Виет Франсуа родился в 1540 году в Фонте-ле-Конт французской провинции Пуату – Шарант. Отец Виета был
3. Получив юридическое образование, он с девятнадцати лет успешно занимался адвокатской практикой в родном городе. Он был
4. Виет сделал принципиально новое открытие, поставив перед собой цель изучать не числа, а действия над ними.
5. Виет сначала решает задачи в общем виде, и только потом приводит числовые параметры. В общей части
6. Теорема Виета Сумма корней приведённого квадратного уравнения x2 + px + q = 0 равна коэффициенту
7. Особый интерес представляет исследование Виета по составлению уравнений из линейных множителей и по установлению связей между
8. Пусть x1 и x2 – корни приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0
9. Выполняя аналогичные действия для приведенного кубического уравнения x3+ax2+bx+c=0, считая x1,x2,x3 корнями исходного кубического уравнения, получаем: (х-x1)(х-x2)(х-x3)
10. Если x1,x2,x3,- корни неприведённого кубического уравнения ax3 + bx2 + cx + d = 0, то
11. Решить уравнение x3-4x2+x+6=0. 1 способ: при а=1 свободный член этого уравнения раскладывают на простые множители, затем
12. 2 способ: применение теоремы Виета для решения кубического уравнения Итак, если х3-4х2+х+6=0, то х1+х2+х3=4 Х1*х2+х1*х3+х2*х3=1, Х1*х2*х3=-6
13. Задача: вычислить, используя теорему Виета, сумму квадратов корней уравнения х3-6х2+11х-6=0 Согласно теореме Виета имеем: х1+х2+х3=6 х1*х2+х1*х3+х2*х3=11
14. Задача: Составить кубическое уравнение, корнями которого являются числа -5;3;4 Решение: Пусть х1=-5, х2=3,х3=4, тогда А теперь
15. Посвящение теореме Виета: По праву достойна в стихах быть воспета О свойствах корней теорема Виета. Что
17. Скачать презентацию

Слайд 2

Виет Франсуа родился в 1540 году в Фонте-ле-Конт французской провинции Пуату

– Шарант. Отец Виета был юристом (прокурором), а мать (Маргарита Дюпон) происходила из знатной семьи, что облегчило дальнейшую карьеру её сына.

Историческая справка

Слайд 3

Получив юридическое образование, он с девятнадцати лет успешно занимался адвокатской практикой

в родном городе. Он был широко образованным человеком. Знал астрономию и математику и все свободное время отдавал этим наукам.
Но главной страстью Виета была математика.

Слайд 4

Виет сделал принципиально новое открытие, поставив перед собой цель изучать не

числа, а действия над ними. Виета называют «отцом» алгебры, основоположником буквенной символики. Особенно гордился Франсуа всем известной теперь теоремой о выражении коэффициентов уравнения через его корни.
Виет первый обозначил буквами не только неизвестные, но и данные величины, т.е. коэффициенты соответствующих уравнений

Слайд 5

Виет сначала решает задачи в общем виде, и только потом приводит

числовые параметры. В общей части он обозначает буквами не только неизвестные, что уже встречалось ранее, но и все прочие параметры, для которых он придумал термин «коэффициенты». Виет использовал для этого только заглавные буквы – гласные для неизвестных, согласные для коэффициентов.

Слайд 6

Теорема Виета
Сумма корней приведённого квадратного уравнения x2 + px + q

= 0 равна коэффициенту p, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену q:
В общем случае (для неприведенного квадратного уравнения):

Слайд 7

Особый интерес представляет исследование Виета по составлению уравнений из линейных множителей

и по установлению связей между корнями уравнения и его коэффициентами.

Слайд 8

Пусть x1 и x2 – корни приведенного квадратного уравнения x2 +

px + q = 0
Перемножим двучлены (х - x1) и (х - x2) :
(х - x1)(х - x2) = x2 - (x1+ x2)х + x1x2 ,
Тогда, сравнивая с исходным уравнением можно записать систему :

Слайд 9

Выполняя аналогичные действия для приведенного кубического уравнения x3+ax2+bx+c=0, считая x1,x2,x3 корнями

исходного кубического уравнения, получаем: (х-x1)(х-x2)(х-x3) = x3 – (x1+x2+x3 ) x2+(x1x2+ x1x3 + x2,x3)х - x1x2x3
следовательно, имеет место следующая система равенств:

Слайд 10

Если x1,x2,x3,- корни неприведённого кубического уравнения ax3 + bx2 +

cx + d = 0, то x1+x2+x3=- b/a
(х1*х2+х1*х3+х2*х3)= с/а
х1*х2*х3=-d/a
есть суть теоремы Виета для кубического уравнения.

Слайд 11

Решить уравнение x3-4x2+x+6=0.
1 способ: при а=1 свободный член этого уравнения раскладывают

на простые множители, затем поочередно выбирают значения «x», равные одному из этих множителей с различными знаками. Эти значения х проверяют, подставляя их в исходное равенство. Таким способом иногда удается найти первый корень кубического уравнения х1. Для нахождения остальных корней кубического уравнения надо соответствующий многочлен разделить на выражение (х-х1), при этом в частном получается квадратный трехчлен. Корни получившегося квадратного трехчлена также являются корнями кубического уравнения. Таким образом 6=1*2*3, т.е.корни уравнения могут быть числа 1 или -1,2 или-2,3 или-3. Способом подстановки выясняем, что х1=-1.Разделим многочлен х3-4х2+х+6 на (х+1) и получим трехчлен
х2-5х+6, т.е.х3-4х2+х+6=(х+1)*(х2-5х+6)=0.
Найдем корни квадратного уравнения х2-5х+6=0 по теореме Виета:
х1=2 и х2=3.
Таким образом исходное кубическое уравнение имеет три действительных корня:
х1=-1, х2=2, х3=3.

Слайд 12

2 способ: применение теоремы Виета для решения кубического уравнения
Итак, если х3-4х2+х+6=0,

то х1+х2+х3=4
Х1*х2+х1*х3+х2*х3=1,
Х1*х2*х3=-6
Методом подбора находим: (-1)*2*3=-6
(-1)+2+3=4
(-1)*2+(-1)*3+2*3=1,
т.е корни уравнения
х1=-1,х2=2, х3=3.

Слайд 13

Задача: вычислить, используя теорему Виета, сумму квадратов корней уравнения х3-6х2+11х-6=0
Согласно теореме

Виета имеем:
х1+х2+х3=6 х1*х2+х1*х3+х2*х3=11
х1*х2*х3=6
Т.к. (х1+х2+х3)2=х12+х22+х32+2(х1*х2+х1*х3+х2*х3)
то получим 62=х12+х22+х32+2*11
36-22= х12+х22+х32
х12+х22+х32=14 Ответ: 14

Слайд 14

Задача: Составить кубическое уравнение, корнями которого являются числа -5;3;4
Решение:
Пусть х1=-5, х2=3,х3=4,

тогда
А теперь составим приведенное кубическое уравнение вида x3+ax2+bx+c=0, корнями которого являются -5, 3, 4. Им будет x3-2x2-23x+60=0

Слайд 15

Посвящение теореме Виета:
По праву достойна в стихах быть воспета О свойствах

корней теорема Виета. Что лучше, скажи постоянства такого: Умножишь ты корни - и дробь уж готова: В числителе с, в знаменателе а, А сумма корней тоже дроби равна Хоть с минусом дробь эта, что за беда В числителе в, в знаменателе а.

Теорема Виета для кубического уравнения

Содержание

Виет Франсуа родился в 1540 году в Фонте-ле-Конт французской провинции Пуату

Получив юридическое образование, он с девятнадцати лет успешно занимался адвокатской практикой

Виет сделал принципиально новое открытие, поставив перед собой цель изучать не

Виет сначала решает задачи в общем виде, и только потом приводит

Теорема Виета Сумма корней приведённого квадратного уравнения x2 + px + q

Особый интерес представляет исследование Виета по составлению уравнений из линейных множителей

Пусть x1 и x2 – корни приведенного квадратного уравнения x2 +

Выполняя аналогичные действия для приведенного кубического уравнения x3+ax2+bx+c=0, считая x1,x2,x3 корнями

Если x1,x2,x3,- корни неприведённого кубического уравнения ax3 + bx2 +

Решить уравнение x3-4x2+x+6=0.1 способ: при а=1 свободный член этого уравнения раскладывают

2 способ: применение теоремы Виета для решения кубического уравненияИтак, если х3-4х2+х+6=0,

Задача: вычислить, используя теорему Виета, сумму квадратов корней уравнения х3-6х2+11х-6=0Согласно теореме

Задача: Составить кубическое уравнение, корнями которого являются числа -5;3;4 Решение:Пусть х1=-5, х2=3,х3=4,

Посвящение теореме Виета:По праву достойна в стихах быть воспета О свойствах

Похожие презентации