Теория комплексных чисел. Геометрическая интерпретация комплексного числа. (Тема 3)

Геометрическая интерпретация комплексного числа XVIII-XIX вв

Г.Вессель, Ж.Арган, К. Гаусс

х-действительная ось

у-мнимая ось

М(a,b)

a

b

0

z=a+bi

К.Гаусс

1. Изобразить на комплексной плоскости следующие числа:

х

z3

-3

2

-2

3

0

у

z1

z4

z2

z5

Модуль комплексного числа

Модулем комплексного числа z=a+bi называется длина вектора :

х-действительная

2. Найти модуль комплексного числа:

Аргумент комплексного числа

Аргументом комплексного числа называется угол ϕ, который образует вектор

Аргумент определяется неоднозначно

Любые два аргумента комплексного числа отличаются друг от друга

3. Найти аргументы комплексного числа:

х

у

1

0

х

у

-1

0

ϕ

х

у

-1

0

ϕ

α

4.Найти модуль и аргумент комплексного числа:

у

α

1

0

ϕ

х

Тригонометрическая форма комплексного числа

х

у

М(a,b)

a

b

0

ϕ

5.Записать число в тригонометрической форме:

х

у

-2

0

ϕ

6. Записать число в алгебраической форме:

7. Записать число в алгебраической форме:

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме Умножение комплексных чисел.

Пусть

8. Найти произведение комплексных чисел:

Деление комплексных чисел.

9. Найти частное комплексных чисел:

10. Записать в тригонометрической форме комплексное число:

Пусть

Запишем каждое из чисел в тригонометрической форме.

х

у

1

0

ϕ

х

у

1

0

ϕ

-1

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Возведение в степень.

Пусть

-

12. Возвести в степень комплексное число и записать результат в алгебраической

х

у

2

0

ϕ

х

у

0

ϕ

Разделим одно число на другое в тригонометрической форме:

А теперь возведём в

Теперь можно результат записать в алгебраической форме:

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Извлечение корня.

Пусть

Корнем n-ой

13. Найти все значения корня:

Пусть

Запишем данное число в тригонометрической форме:

х

у

1

0

х

у

u0

u4

u3

u2

u1

u5

14. Решить уравнение:

Пусть

Запишем данное число в тригонометрической форме:

х

у

1

0

ϕ

х

у

u0

u4

u3

u2

u1

15. Сделать действия в тригонометрической форме и ответ записать в алгебраической

16. Сделать действия над комплексными числами и ответ записать в тригонометрической

17. Представить числа в тригонометрической форме:

Ответ.

Ответ.

18. Найти в тригонометрической форме для чисел

Ответ.

Ответ.

19. Найти в тригонометрической
форме и результат представить в алгебраической форме, если