Содержание
- 2. Предмет теории вероятностей Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S.
- 3. Предмет теории вероятностей Если рассматриваются случайные события, которые могут многократно, наблюдаться при осуществлении одних и тех
- 4. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Событие будем рассматриваться как результата испытания. Пример. Стрелок стреляет по мишени, разделенной
- 5. Виды случайных событий События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в
- 6. Виды случайных событий Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно
- 7. Виды случайных событий События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не
- 8. Классическое определение вероятности Пусть в урне содержится 6 одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причем 2 из них
- 9. Классическое определение вероятности Появление цветного шара будем рассматривать в качестве события A.Каждый из возможных результатов испытания
- 10. Классическое определение вероятности Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими этому событию.
- 11. Классическое определение вероятности Отношение числа благоприятствующих событию A элементарных исходов к их общему числу называют вероятностью
- 12. Классическое определение вероятности Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице. Действительно, если событие достоверно, то каждый
- 13. Классическое определение вероятности Приведем аксиомы, определяющие вероятность: Каждому событию A поставлено в соответствие неотрицательное действительное число
- 14. Основные формулы комбинаторики Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и
- 15. Основные формулы комбинаторики Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются
- 16. Основные формулы комбинаторики Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются
- 17. Примеры непосредственного вычисления вероятностей Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что
- 18. Примеры непосредственного вычисления вероятностей В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди
- 19. Относительная частота Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу
- 20. Относительная частота Пример. Отдел технического контроля обнаружил 3 нестандартные детали в партии из 80 случайно отобранных
- 21. Статистическая вероятность Наряду с классическим определением вероятности используют и другие определения в частности статистическое определение: в
- 22. Теорема сложения вероятностей несовместных событий Суммой A + B двух событий A и B называют событие,
- 23. Теорема сложения вероятностей несовместных событий Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме
- 24. Теорема сложения вероятностей несовместных событий Пример. В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15
- 25. Полная группа событий Теорема. Сумма вероятностей событий A1, A2, … , An, образующих полную группу, равна
- 26. Полная группа событий Пример. Из ящика наудачу взята деталь. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная
- 27. Произведение событий Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении)
- 28. Условная вероятность Случайное событие – это событие, которое при осуществлении совокупности условий S может произойти или
- 29. Пример. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару,
- 30. Теорема умножения вероятностей Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на
- 31. Теорема умножения вероятностей Пример. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание
- 32. Независимые события Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности
- 33. Независимые события Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в
- 34. Следствие из теоремы умножения. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности равна произведению вероятностей этих
- 35. Вероятность появления хотя бы одного события Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А1, А2,
- 36. Вероятность появления хотя бы одного события Пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий
- 37. Вероятность появления хотя бы одного события Пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго
- 38. Формула полной вероятности Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из
- 39. Формула полной вероятности Пример. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна
- 40. Вероятность гипотез. Формулы Бейеса Пусть событие A может наступить при условии появления одного из несовместных событий
- 41. Вероятность гипотез. Формулы Бейеса Аналогично выводятся формулы, определяющие условные вероятности остальных гипотез, т. е. условная вероятность
- 42. Вероятность гипотез. Формулы Бейеса Пример. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к
- 43. Вероятность гипотез. Формулы Бейеса По условию задачи имеем: Р(В1)=0,6 (вероятность того, что деталь попадает к первому
- 44. Формула Бернулли Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо
- 45. Формула Бернулли Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в п испытаниях событие А наступит
- 46. Формула Бернулли Пример. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы,
- 47. Локальная теорема Лапласа Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от
- 48. Локальная теорема Лапласа Пример. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400
- 49. Интегральная теорема Лапласа Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от
- 50. Интегральная теорема Лапласа Для того чтобы можно было пользоваться таблицей функции Лапласа, преобразуем соотношение (*) так:
- 51. Интегральная теорема Лапласа Пример. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна р = 0,2.
- 52. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях Производится п независимых испытаний, в каждом
- 53. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
- 54. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
- 55. Случайная величина Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение,
- 56. Дискретные и непрерывные случайные величины Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения
- 57. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями
- 58. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины Если множество возможных значений X бесконечно (счетно), то ряд p1+p2+
- 59. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и
- 60. Биномиальное распределение Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо
- 61. Биномиальное распределение Биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли. Закон назван «биномиальным» потому, что правую часть
- 62. Биномиальное распределение
- 63. Распределение Пуассона Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна
- 64. Распределение Пуассона Воспользуемся формулой Бернулли. Pn(k)= Так как рп =λ , то р=λ /п. Следовательно, Pn(k)=
- 65. Распределение Пуассона
- 66. Распределение Пуассона Пример. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие
- 67. Простейший поток событий Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени. Примерами потоков
- 68. Простейший поток событий Свойство отсутствия последействия характеризуется тем, что вероятность появления k событий на любом промежутке
- 69. Простейший поток событий Свойство ординарности характеризуется тем, что появление двух и более событий за малый промежуток
- 70. Простейший поток событий Интенсивностью потока называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени. Можно доказать,
- 71. Геометрическое распределение Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна р
- 72. Геометрическое распределение Пример. Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель
- 73. Числовые характеристики дискретных случайных величин Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных
- 74. Числовые характеристики дискретных случайных величин Найти математическое ожидание случайной величины X, зная закон ее распределения: Решение.
- 75. Вероятностный смысл математического ожидания Математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому
- 76. Свойства математического ожидания Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М (С) = С.
- 77. Свойства математического ожидания Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:
- 78. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях Пусть производится п независимых испытаний, в каждом из
- 79. Дисперсия дискретной случайной величины Пусть Х - случайная величина и М (X) — ее математическое ожидание.
- 80. Дисперсия дискретной случайной величины Напишем закон распределения отклонения. Для того чтобы отклонение приняло значение х1-М (X),
- 81. Дисперсия дискретной случайной величины Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю: М[Х—М(Х)] = 0. Пример. Задан закон
- 82. Дисперсия дискретной случайной величины Напишем закон распределения отклонения: Найдем математическое ожидание отклонения: М [Х — М
- 83. Дисперсия дискретной случайной величины На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг ее
- 84. Дисперсия дискретной случайной величины Пусть случайная величина задана законом распределения Тогда квадрат отклонения имеет следующий закон
- 85. Дисперсия дискретной случайной величины Пример. Найти дисперсию случайной величины X, которая задана следующим законом распределения: Решение.
- 86. Дисперсия дискретной случайной величины По определению, D(X)=l,69*0,3 + 0,09*0,5 + 7,29*0,2 = 2,01. Формула для вычисления
- 87. Свойства дисперсии Свойство 1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю: D (С) = 0. Свойство 2.
- 88. Свойства дисперсии Свойство 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(X-Y)=D(X)+D(Y). Дисперсия
- 89. Пример. Производятся 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,6. Найти дисперсию
- 90. Среднее квадратическое отклонение Средним квадратическим отклонением случайной величины X называют квадратный корень из дисперсии: s(X)= Легко
- 91. Среднее квадратическое отклонение Пример. Случайная величина X задана законом распределения Найти среднее квадратическое отклонение s (X).
- 92. Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин Теорема. Среднее квадратическое отклонение суммы конечного числа взаимно
- 93. 2. Дисперсия среднего арифметического п одинаково распределенных взаимно независимых случайных величии в п раз меньше дисперсии
- 94. Начальные и центральные теоретические моменты Начальным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины
- 95. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ. Неравенство Чебышева Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее
- 96. Теорема Чебышева Таким образом, теорема Чебышева утверждает, что если рассматривается достаточно большое число независимых случайных величин,
- 97. Теорема Бернулли Если в каждом из п независимых испытаний вероятность р появления события А постоянна, то
- 98. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Пусть х—действительное число. Вероятность события, состоящего в том, что X примет
- 99. Свойства функции распределения Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1]: 0 ≤ F (х)
- 100. Свойства функции распределения Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то
- 101. График функции распределения Cвойства позволяют представить, как выглядит график функции распределения непрерывной случайной величины. График расположен
- 102. График функции распределения Пример. Дискретная случайная величина X задана таблицей распределения Найти функцию распределения и вычертить
- 103. Функция распределения равна:
- 104. Определение плотности распределения Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называют функцию f (х) - первую
- 105. Пример. Задана плотность вероятности случайной величины X Найти вероятность того, что в результате испытания X примет
- 106. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения Зная плотность распределения f(х), можно найти функцию распределения F
- 107. Свойства плотности распределения Свойство 1. Плотность распределения - неотрицательная функция: f(x)≥0. Геометрически это свойство означает, что
- 108. Свойства плотности распределения
- 109. Вероятностный смысл плотности распределения Пусть F (х)—функция распределения непрерывной случайной величины X. По определению плотности распределения,
- 110. Закон равномерного распределения вероятностей Плотности распределений непрерывных случайных величин называют также законами распределений. Распределение вероятностей называют
- 111. Числовые характеристики непрерывных случайных величин Математическим ожиданием непрерывной случайной величины- X, Возможные значения которой принадлежат отрезку
- 112. Числовые характеристики непрерывных случайных величин Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и для величины
- 113. Нормальное распределение Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью Нормальное распределение определяется двумя
- 114. Нормальное распределение Очевидно, функция определена на всей оси х. При всех значениях х функция принимает положительные
- 115. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины Если случайная величина X задана плотностью распределения f
- 116. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины Пользуясь функцией Лапласа окончательно получим Пример. Случайная величина
- 117. Вычисление вероятности заданного отклонения Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины X
- 118. Правило трех сигм Р (| X—а | т, е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине
- 119. Показательное распределение Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х1 которое описывается плотностью где λ
- 120. Показательное распределение Найдем вероятность попадания в интервал (а,b) непрерывной случайной величины X, которая распределена по показательному
- 121. Функция надежности Пусть элемент начинает работать в момент времени t0=0, а по истечении времени длительностью t
- 123. Скачать презентацию